Question

Cho 10 số tự nhiên bất kì . Chứng tỏ rằng bao giờ cũng tìm được ít nhất 2 số trong 10 số đã cho có hiệu chúng chia hết cho chúng .

Answer 1

Đặt \(S_1=a_1;S_2=a_1+a_2...;S_{10}=a_1+a_2+...+a_{10}\)

Xét 10 số \(S_1;S_2;S_3.....;S_{10}\) ta có 2 trường hợp:

*Nếu có 1 số S_k nào có tận cùng bằng 0 (S_k =a₁;a₂....a_10; k= 1->10)

=>Tổng k số a₁;a₂.....;a_k⁼10

*Nếu không có số nào trong 10 số \(S_1;S_2;S_3;....;S_{10}\) tận cùng bằng 0

⇒ Chắc chắn phải có ít nhất 2 số nào đó có chữ số tận cùng giống nhau. Ta gọi 2 số đó là \(S_m;S_n\left(1\le m< n\le10\right)\) \(S_m=a_1+a_2+....+a_{_{ }m}\) \(S_n=a_1+a_2+...+a_m+a_{m+1}+...+a_n\) \(\Rightarrow S_n-S_m=a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_n\) tận cùng là 0 \(\Rightarrow n-m=a_{m+1}+a_{m+2}+..+a_n\) ⋮10 Vậy \(a_1+a_2+...+a_{10}\) ⋮ 10 (đpcm)

Answer 2

Cho 10 số tự nhiên bất kì . Chứng tỏ rằng bao giờ cũng tìm được ít nhất 2 số trong 10 số đã cho có hiệu chúng chia hết cho 9 vầy mới đúng .

Giả sử 10 số tự nhiên bất kì là : a₁ , a₂ , a₃ , .... , a₁₀ Lấy 10 số đã cho chia cho 9 ta được 10 số dư tương tự là : r₁ , r₂ , r₃ , .... , r₁₀ mà phép chia cho 9 khả năng từ 0 đến 8 \(\Rightarrow\) : phải có ít nhất 2 phép chia có cùng số dư . Chẳng hạn : r₁ = r₂ thì a₁ = 9k₁+r₁ a₂ = 9k₂+r1 \(\Rightarrow\)a₁ - a₂ = ( 9k₁ + r₁ ) - ( 9k₂ + r₁ ) = 9k₁ + r₁ - 9k₂ - r₁ = 9k₁ - 9k₂ + r₁ - r₁ = 9(k₁ - k₂ ) \(⋮\) 9 ( đccm)