Question

1) Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao , AM là trung tuyến. Kẻ HD vuông góc với AB , HE vuông góc với AC , MK vuông góc với AB. Gọi N là giao điểm của AM và HE
C/m : a) AM vuông góc với DE
b) BN//DE

Answer 1

a) Gọi O = AH giao DE ; I = AM giao DE

Dễ chứng minh AEHD là hcn (3 góc vuông)

=> ADE^ = DEH^ (sole trong)

DEH^ = AHE^ (tam giác EOH cân tại O)

AHE^ = ACB^ (cùng phụ EHC^)

ACB^ = DHB^ (đồng vị)

=> ADE^ = ACB^ hay ADI^ = BHD^ (1)

Mặt khác, MAB^ = MBA^ (AM là trung tuyến)

=> IAD^ = DBH^ (2)

Từ (1) và (2) => tam giác AID đồng dạng tam giác BDH (g.g)

=> AID^ = BDH^ = 90o => AM _|_ DE

b) Ta sẽ chứng minh BDEN là hình bình hành

Xét tam giác vuông AEN và tam giác vuông HDB:

AE = HD (AEHD là hcn); EAN^ = DHB^ (cùng bằng ACB^)

=> tam giác AEN = tam giác HDB (cạnh góc vuông _ góc nhọn)

=> EN = DB mà EN // DB (cùng _|_ AC)

=> EN //= DB => BDEN là hbh => DE// BN (đpcm)