\(x^4=3x^2+4x+3\Leftrightarrow x^4-2x^2+1=x^2+4x+4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2=\left(x+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-1=x+2\\x^2-1=-x-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x-3=0\\x^2+x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}\)

Vì vậy mệnh đề "\(\exists x\in\mathbb{R},x^4=3x^2+4x+3\)" là mệnh đề đúng.

a) P(1): \(1>1^3\) là mệnh đề sai.

b) \(P\left(\dfrac{1}{3}\right):\) \(\dfrac{1}{3}>\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\) là mệnh đề đúng.

c) \(\forall x\in\mathbb{N},P\left(x\right)\) là mệnh đề sai vì có \(x=0\in\mathbb{N}\) mà \(P\left(0\right):\) \(0>0^3\) sai.

d) \(\exists x\in\mathbb{N},P\left(x\right)\) là mệnh đề sai vì có \(x-x^3=x\left(1-x^2\right)\le0,\forall x\ge1\) và có \(x-x^3=0\) khi \(x=0\). Vì thế

\(\forall x\in\mathbb{N},\overline{P\left(x\right)}\)

Do đó "\(\exists x\mathbb{N},P\left(x\right)\)" là mệnh đề sai.

a) Mệnh đề \(\forall x\in\mathbb{N},x^2\ge2x\) sai vì có \(x=1\in\mathbb{N}\) mà \(1^2< 2.1\). Mệnh đề phủ định: \(\exists x\in\mathbb{N},x^2< 2x\).

b) Mệnh đề " \(\forall x\in\mathbb{Z},x^2-x-1=0\)" sai vì có số nguyên \(x=0\) mà \(x^2-x-1=-1\ne0\). Mệnh đề phủ định:

\(\exists x\in\mathbb{Z},x^2-x-1\ne0\).

Chú ý: Mệnh đề nói ở b) nếu sửa thành " \(\forall x\in\mathbb{Z},x^2-x-1\ne0\)" thì đây là mệnh đề đúng, điều này có thể chứng minh như sau:

- Với \(x\le-1\) thì \(x^2\ge1,-\left(x+1\right)\ge0\Rightarrow x^2-\left(x+1\right)\ge1\Rightarrow x^2-x-1\ne0\)

- Với \(x\ge2\) thì \(x^2-x=x\left(x-1\right)\ge2.1\Rightarrow x^2-x-1\ge1\)\(x^2-x-1\ge1\Rightarrow x^2-x-\ne0\)

- Với \(x=0,x=1\) thử trực tiếp thấy \(x^2-x-1\ne0\)

Đề sai! có vô số số thực x mà \(x^2-4\) không phải là số dương, cụ thể là: \(x^2-4\le0,\forall x\in\left[-2;2\right]\)

Bạn cần nói rõ yêu cầu bài toán là gì. Nếu là giải phương trình thì quá đơn giản:

\(\left(x-3\right)\left(x+3\right)+2\left(x-5\right)^2+x\left(x-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-9+2\left(x^2-10x+25\right)+x^2-10x=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-30x+41=0\Leftrightarrow x=\dfrac{15\pm\sqrt{61}}{4}\)

Có \(\dfrac{3x^2+8}{x^2+1}=3+\dfrac{5}{x^2+1}\). Do đó

\(x\in E\Leftrightarrow\dfrac{5}{x^2+1}\in\mathbb{Z}\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+1=1\\x^2+1=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\pm2\end{matrix}\right.\)

Vì vậy \(E=\left\{0;-2;2\right\}\)

Nếu \(X\cup E=\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\) thì \(X\)phải là tập con của \(\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\). Kết hợp điều kiện \(X\cap E=\left\{-2;2\right\}\) suy ra \(X=\left\{-2;0;2\right\}\)

a) Tập \(\left\{-1;2\right\}\) chỉ gồm 2 phần tử là hai số - 1 và 2.

Tập hợp \(\left[-1;2\right]\) có vô số phần tử, là tất cả các số thực giữa -1 và 2 (kể cả -1 và 2).

Tập hợp \(\left(-1;2\right)\) có vô số phần tử, là các số thực giữa - 1 và 2 (không bao gồm -1 và 2).

Tập hợp \([-1;2)\) có vô số phần tử, là các số thực giữa - 1 và 2 (không kể 2, có bao gồm -1).

Tập hợp \((-1;2]\) có vô số phần tử, là các số thực giữa - 1 và 2 (bao gồm -1 nhưng không bao gồm 2).

b) \(A=\left\{x\in\mathbb{N}|-2\le x\le3\right\}=\left\{0;1;2;3\right\}\); \(B=\left\{x\in\mathbb{R}|-2\le x\le3\right\}=\left[-2;3\right]\)

c) \(A=\left\{x\in\mathbb{N}|x< 3\right\}=\left\{0;1;2\right\}\); \(B=\left\{x\in\mathbb{R}|x< 3\right\}=\left(-\infty;3\right)\)

1) \(x\in A\Leftrightarrow x^2\le25\Leftrightarrow-5\le x\le5\) nên \(A=\left[-5;5\right]\).

2) \(x\in B\Leftrightarrow-4< x< 5\) nên \(B=\left(-4;5\right)\)

3) \(x\in C\Leftrightarrow x\le-4\) nên \(C=\left(-\infty;-4\right)\)

Câu trả lời của ConnanMTM không đúng nhé. Khẳng định B không đúng chẳng hạn với n = 4, m = 2 không xảy ra

\(B_n\cap B_m=B_{nm}\). Thật vậy, với n = 4, m = 2 thì nm = 8 và

\(B_n=B_4=\left\{0;\pm4;\pm8;...\right\}\)
\(B_m=B_2=\left\{0;\pm2;\pm4;\pm6;\pm8,...\right\}\) suy ra \(B_n\subset B_m\) và \(B_n\cap B_m=B_n=\left\{0;\pm4;\pm8;...\right\}\)

\(B_{nm}=B_8=\left\{0;\pm8;\pm16;...\right\}\). Do đó trường hơp này không xảy ra \(B_n\cap B_m=B_{nm}\). (đpcm)

Câu trả lời đúng là C.

Bạn phát biểu bài toán như vậy có nghĩa là: "Nếu một tam giác có đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh cũng là phân giác của góc tại đỉnh đó thì tam giác đó không phải là tam giác cân tại đỉnh đó". Hiểu như vậy thì đề bài của bạn SAI nhé. Dễ chứng minh định lí sau (trái ngược với đề bài của bạn): Nếu tam giác ABC có trung tuyến AM cũng là phân giác của góc A thì ABC là tam giác cân ở A.

Chứng minh:

Từ giả thiết suy ra MB = MC; \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\). Do đó hai tam giác ABM và ACM bằng nhau (cgc). Vì vậy AB = AC và tam giác ABC cân tại A.