Bài 2: Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình có dạng \(ax+b=0\), với \(a\) và \(b\) là các số cho trước và \(a\ne0\), được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ:

+) Phương trình \(2x+5=0\) là một phương trình bậc nhất một ẩn.

+) Phương trình \(3-5y=0\) là một phương trình bậc nhất một ẩn.

+) Phương trình \(4+2t=0\) là một phương trình bậc nhất một ẩn.

 

@58434@

Để giải các phương trình bậc nhất một ẩn, ta thường dùng quy tắc chuyển vế quy tắc nhân (nêu ở phần sau)

2. Quy tắc chuyển vế

Quy tắc:

Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ: Với phương trình \(x+2=0\), ta có thể chuyển vế hạng tử \(+2\) và đổi dấu của nó thành \(-2\), ta được \(x=-2\).

Có thể viết thành: \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)

Ví dụ: 

+) \(x-4=0\) \(\Leftrightarrow x=4\)

+) \(\dfrac{3}{4}-x=0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{4}=x\) hay \(x=\dfrac{3}{4}\)

+) \(0,5+x=0\Leftrightarrow x=-0,5\)

3. Quy tắc nhân với một số

Quy tắc:

Trong cùng một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế của nó với cùng một số khác 0.

Ví dụ: Đối với phương trình \(2x=6\), ta có thể nhân cả 2 vế với cùng một số \(\dfrac{1}{2}\), ta được \(2x.\dfrac{1}{2}=6.\dfrac{1}{2}\) hay \(x=3\)

Ví dụ:

+) \(3x=5\) \(\Leftrightarrow3x.\dfrac{1}{3}=5.\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{3}\)

+) \(\dfrac{1}{3}x=4\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}x.3=4.3\Leftrightarrow x=12\)

Chú ý rằng, trong ví dụ trên, khi nhân cả 2 vế với cùng một số \(\dfrac{1}{2}\) cũng có nghĩa là ta chia cả 2 vế cho cùng một số là 2.

Quy tắc nhân còn có thể phát biểu:

Trong một phương trình, ta có thể chia cả 2 vế của nó cho cùng một số khác 0.

Ví dụ:

+) \(4x=7\Leftrightarrow\dfrac{4x}{4}=\dfrac{7}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{4}\)

+) \(-2,5x=10\Leftrightarrow\dfrac{-2,5x}{-2,5}=\dfrac{10}{-2,5}\Leftrightarrow x=-4\)

 

@58431@

4. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Ta thừa nhận rằng: Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Giải phương trình \(3x-9=0\).

Ta có: \(3x-9=0\)

      \(\Leftrightarrow3x=9\)  (thực hiện chuyển vế hạng tử +9 và đổi dấu thành -9)

      \(\Leftrightarrow x=3\)  (chia cả 2 vế cho 3)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=3\).

Ví dụ 2: Giải phương trình \(1-\dfrac{7}{3}x=0\).

Ta có: \(1-\dfrac{7}{3}x=0\) 

       \(\Leftrightarrow-\dfrac{7}{3}x=-1\)

       \(\Leftrightarrow x=\left(-1\right):\left(\dfrac{-7}{3}\right)\)

       \(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{7}\)

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\dfrac{3}{7}\right\}\)

Tổng quát:

Phương trình \(ax+b=0\) (\(a\ne0\)) được giải như sau:

\(ax+b=0\) \(\Leftrightarrow ax=-b\Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{a}\).

Ví dụ 1: Giải phương trình \(10-4x=2x-3\).

Ta có: \(10-4x=2x-3\)

     \(\Leftrightarrow-4x-2x=-3-10\)

     \(\Leftrightarrow-6x=-13\)

     \(\Leftrightarrow x=\dfrac{-13}{-6}\)

     \(\Leftrightarrow x=\dfrac{13}{6}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\dfrac{13}{6}\right\}\)

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\left(x+1\right)^2=x\left(x-2\right)+3\)

Ta có: \(\left(x+1\right)^2=x\left(x-2\right)+3\)

     \(\Leftrightarrow x^2+2x+1=x^2-2x+3\)

     \(\Leftrightarrow x^2+2x-x^2+2x=3-1\)

     \(\Leftrightarrow4x=2\)

     \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\).

 

@58432@

Danh sách các phiên bản khác của bài học này. Xem hướng dẫn
Trúc Giang đã đóng góp một phiên bản khác cho bài học này (24 tháng 6 2021 lúc 13:07) 0 lượt thích