Bài tập cuối chương I

1. Tập hợp

Khái niệm tập hợp thường gặp trong Toán học và trong cuộc sống.

• Người ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C, ... để kí hiệu tập hợp.
• Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc nhọn { }, cách nhau bởi dấu chấm phẩy ";". Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý.
• Phần tử x thuộc tập hợp A được kí hiệu là x ∈ A, đọc là "x thuộc A". Phần tử y không thuộc tập hợp A được kí hiệu là y ∉ A, đọc là "y không thuộc A".

Để cho một tập hợp, thường có hai cách:

1.  Liệt kê các phần tử của tập hợp.
2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

2. Tập hợp số tự nhiên

Các số 0; 1; 2; 3; ... là các số tự nhiên. Người ta kí hiệu tập hợp các số tự nhiên là \(\mathbb{N}\).

\(\mathbb{N}=\{0; 1; 2;3;4;5;...\}\).

Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là \(\mathbb{N}^*\). \(\mathbb{N}^* = \{1; 2;3;4;5;...\}\).

3. Thứ tự trong tập hợp số tự nhiên

• Các số tự nhiên được biểu diễn trên tia số bởi các điểm cách đều nhau như hình sau:

• Mỗi số tự nhiên được biểu diễn bằng một điểm trên tia số; điểm biểu diễn số tự nhiên n gọi là điểm n.

Chẳng hạn, điểm biểu diễn số 10 gọi là điểm 10.

• Trong hai số tự nhiên a và b khác nhau, có một số nhỏ hơn số kia. Nếu số a nhỏ hơn số b ta viết a < b (nhỏ hơn). Ta cũng nói số b lớn hơn số a và viết b > a.
• Khi biểu diễn trên tia số nằm ngang có chiều mũi tên đi từ trái sang phải, nếu a < b thì điểm a nằm bên trái điểm b.
• Ta viết a ≤ b để chỉ a < b hoặc a = b, b ≥ a để chỉ b > a hoặc b = a.
• Mỗi số tự nhiên có một số liền sau cách nó một đơn vị.

Chẳng hạn, số liền sau của 99 là 100. Số 99 cũng được gọi là số liền trước của 100. Hai số 99 và 100 được gọi là hai số tự nhiên liên tiếp.

• Tính chất bắc cầu: Nếu a < b và b < c thì a < c.

Chẳng hạn, x < 500, y > 600. Khi đó x < y.

4. Ghi số tự nhiên

a) Hệ thập phân

Ở tiểu học ta đã biết cách so sánh hai số tự nhiên bất kì.

Khi viết các số tự nhiên có từ 4 chữ số trở lên, ta nên viết tách riêng từng nhóm ba chữ số kể từ phải sang trái cho dễ đọc. Chẳng hạn, 5 609 778.

Cấu tạo thập phân của một số:

• Kí hiệu \(\overline{ab}\) chỉ số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục là \(a\left(a\ne0\right)\), chữ số hàng đơn vị là \(b\). Ta có: \(\overline{ab}=a\times10+b\).

Tương tự \(\overline{abc}=a\times100+b\times10+c\).

• Với các số cụ thể thì không viết dấu gạch ngang ở trên.

b) Hệ La Mã

• Ngoài cách ghi số trong hệ thập phân gồm các chữ số từ 0 đến 9 và các hàng (đơn vị, chục, trăm, nghìn, ...) như trên, còn có cách ghi số La Mã như sau:

Ghép các chữ số I, V, X với nhau ta có thể được số mới. Dưới đây lầ bảng chuyển đổi số La Mã sang số trong hệ thập phân tương ứng (từ 1 đến 10):

Từ các số này, nếu thêm vào bên trái mỗi số một chữ số X ta được các số La mã từ 11 đến 20, ví dụ: XI là 11, XII là 12, XV là 15, ..., XX là 20.

Nếu thêm vào bên trái hai chữ số X ta được các số La Mã từ 21 đến 30, ví dụ: XXII là 22, XXVI là 2, ...

5. Phép cộng và phép nhân

Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên ta đã được học ở tiểu học.

Chẳng hạn:

• 650 + 1 258 = 1 908. Trong đó các số 650 và 1 258 là số hạng, 1 908 là tổng.
• 56 \(\times\) 120 = 6 720. Trong đó các số 56 và 120 gọi là các thừa số, 6 720 là tích.

Chú ý. Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không viết dấu nhân ở giữa các thừa số; dấu "\(\times\)" trong tích các số cũng có thể thay bằng dấu ".".

Chẳng hạn, \(a\times b\times c\) có thể viết là \(a\cdot b\cdot c\) hay \(abc\); \(9\times a\times b\) có thể viết là \(9\cdot a\cdot b\) hay \(9ab\).

6. Tính chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên

Với a, b, c là các số tự nhiên, ta có:

• Tính chất giao hoán: a + b = b + a; a.b = b.a.
• Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c);  (a.b).c = a.(b.c).
• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a.(b + c) = a.b + a.c.
• Tính chất cộng với số 0, nhân với số 1: a + 0 = a; a.1 = a.

7. Phép trừ và phép chia hết

Ở tiểu học, ta đã biết cách tìm x trong phép toán b + x = a; trong đó a, b, x là các số tự nhiên, a ≥ b.

Nếu có số tự nhiên x thỏa mãn b + x = a, ta có phép trừ a - b = x và gọi x là hiệu của phép trừ số a cho số b, a là số bị trừ, b là số trừ.

Chú ý. Phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ: \(a\cdot\left(b-c\right)=a\cdot b-a\cdot c\) \(\left(b>c\right)\).

8. Lũy thừa

Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu aⁿ, là tích của n thừa số a.

aⁿ = a.a.a...a (n thừa số a, n ≠ 0).

Ta đọc aⁿ là "a mũ n" hoặc "a lũy thừa n" hoặc "lũy thừa bậc n của a".

• Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.
• Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên lũy thừa. 
• a² còn được đọc là a bình phương hay bình phương của a.
• a³ còn được đọc là a lập phương hay lập phương của a.

Quy ước: a¹ = a.

9. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số

• Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

      Chẳng hạn, \(5^2\cdot5^4=5^{2+4}=5^6\)

• Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ.

\(a^m:a^n=a^{m-n}\left(a\ne0;m\ge n\right)\)

Quy ước: \(a^0=1;a\ne0\). 

Chẳng hạn, \(10^{15}:10^5=10^{15-5}=10^{10}\)

10. Thứ tự thực hiện phép tính

Khi thực hiện các phép tính trong một biểu thức:

• Đối với biểu thức không có dấu ngoặc:

    + Nếu chỉ có phép cộng, trừ hoặc chỉ có phép nhân, chia, ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

    + Nếu có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân và chia, cuối cùng đến cộng và trừ.

• Đối với biểu thức có dấu ngoặc:

    Nếu biểu thức có các dấu ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc tròn trước, rồi thực hiện phép tính trong dấu ngoặc vuông, cuối cùng thực hiện phép tính trong dấu ngoặc nhọn.

11. Chia hết và chia có dư

Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0. Ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho a = bq + r, trong đó 0 ≤ r < b. Ta gọi q và r lần lượt là thương và số dư trong phép chia a cho b.

• Nếu r = 0 tức a = b.q, ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a ⋮ b và ta có phép chia hết a : b = q.
• Nếu r ≠ 0, ta nói a không chia hết cho b, kí hiệu a \(⋮̸\) b  và ta có phép chia có dư.

12. Tính chất chia hết của một tổng

Tính chất 1: Cho a, b là các số tự nhiên, n khác 0. Nếu a ⋮ n và b ⋮ n thì (a + b) ⋮ n.

Tính chất 2:Cho a, b, n là các số tự nhiên, n khác 0. Nếu a \(⋮̸\) n và b ⋮ n thì (a + b) \(⋮̸\) n.

Chẳng hạn, tổng \(32.11+8.651\)  chia hết cho 8 vì 32.11 chia hết cho 8 và 8.651 chia hết cho 8.

13. Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9

14. Ước và bội

Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.

Tập hợp các ước của a được kí hiệu là Ư(a).

Tập hợp các bội của a được kí hiệu là B(a).

Chẳng hạn:

+ Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

+ B(5) = {0; 5; 10; 15; 20; ...}.

Chú ý:

• Số 0 là bội của tất cả các số tự nhiên khác 0. Số 0 không là ước của bất kì số tự nhiên nào.
• Số 1 chỉ có một ước là 1. Số 1 là ước của mọi số tự nhiên.
• Mọi số tự nhiên a lớn hơn 1 luôn có ít nhất hai ước là 1 và chính nó.

15. Cách tìm ước

Muốn tìm các ước của số tự nhiên a (a > 1), ta có thể lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.

Chẳng hạn, để tìm các ước của 10, ta lấy 10 chia cho các số từ 1 đến 10. Ta thấy 10 chỉ chia hết cho các số 1, 2, 5, 10 nên Ư(10) = {1; 2; 5; 10}.

16. Cách tìm bội

Muốn tìm các bội của số tự nhiên a khác 0, ta có thể nhân a lần lượt với 0, 1, 2, 3, ...

Chẳng hạn, để tìm bội của 8, ta lần lượt nhân 8 với 0, 1, 2, 3, 4, .... Vậy B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; ...}.

Chú ý: Bội của a có dạng tổng quát là a.k với k \(\in \mathbb{N}\). Ta có thể viết: B(a) = {a.k| k \(\in \mathbb{N}\)}.

17. Số nguyên tố. Hợp số. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.

Chẳng hạn, 19 là số nguyên tố, 24 là hợp số.

Các cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố:

Cách 1: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố theo cột dọc.

Để phân tích 120 ra thừa số nguyên tố theo cột dọc, ta lần lượt chia 120 cho các là số nguyên tố của nó (nên theo thứ tự từ ước nhỏ nhất đến ước lớn nhất).

Vậy 120 = 2³.3.5.

Chú ý: Khi viết kết quả phân tích một số ra thừa số nguyên tố, ta thường viết các ước nguyên tố theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Cách 2: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cây.

Ta có thể phân tích số 48 ra thừa số nguyên tố bằng sơ đồ cây như sau:

Vậy 48 = 2⁴.3.

Nhận xét: Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì ta cũng được cùng một kết quả.

18. Ước chung. Ước chung lớn nhất

a) Ước chung

• Một số được gọi là ước chung của hai hay nhiều số nếu nó là ước của tất cả các số đó.
• Tập hợp các ước chung của hai số a và b kí hiệu là ƯC(a, b).

         x ∈ ƯC(a, b) nếu a ⋮ x và b ⋮ x.

• Tương tự, tập hợp các ước chung của a, b, c kí hiệu là ƯC(a, b, c).

         x ∈ ƯC(a, b, c) nếu a ⋮ x, b ⋮ x và c ⋮ x.

Chẳng hạn, ta có:

Ư(10) = {1; 2; 5; 10};  Ư(15) = {1; 3; 5; 15}.

 Các ước 1, 5 vừa là ước của 10, vừa là ước của 15. Ta nói 1, 2 là ước chung của 10 và 15 và viết ƯC(10, 15) = {1; 2}.

Cách tìm ước chung của hai số a và b:

• Viết tập hợp các ước của a và ước của b: Ư(a), Ư(b).
• Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

b) Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tâp hợp các ước chung của các số đó.

Kí hiệu ước chung lớn nhất của và b là ƯCLN(a, b).

Tương tự, ước chung lớn nhất của a, b và c kí hiệu là ƯCLN(a, b, c).

Nhận xét: Tất cả các ước chung của hai hay nhiều số đều là ước của ƯCLN của các số đó.

Chẳng hạn, ƯC(50, 75) = {1; 5; 25} nên ƯCLN(50, 75) = 25, vì 25 là số lớn nhất trong số các ước chung của 50 và 75. Các ước chung của 50 và 75 là 1, 5, 25 đều là ước của 25.

ƯCLN(36, 40, 1) = 1.

Lưu ý: Với mọi số tự nhiên a và b, ta có: ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1.

c) Cách tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Quy tắc:

Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất nhất của nó.

Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Chẳng hạn, để tìm ƯCLN(72, 90) ta làm như sau:

• Phân tích 72 và 90 ra thừa số nguyên tố: 72 = 2³.3²; 90 = 2.3².5; 
• Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.
• Lập tích các thừa số chung vừa chọn được, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó: 2.3².

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.

Chẳng hạn, 15 và 17 là hai số nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(15, 17) = 1.

19. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

a) Bội chung

Một số được gọi là bội chung của hai hay nhiều số nếu nó là bội của tất cả các số đó.

Chẳng hạn, ta có: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48 ...}; B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48 ...}.

Hai tập hợp này có một số phần tử chung như 0; 24; 48; ...Ta nói chúng là các bội chung của 6 và 8.

• Kí hiệu tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b).
• Tương tự, tập hợp các bội chung của a, b, c kí hiệu là BC(a, b, c).

Cách tìm bội chung của hai số a và b:

• Viết các tập hợp B(a) và B(b).
• Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

b) Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b).

Tương tự, bội chung nhỏ nhất của a, b và c kí hiệu là BCNN(a, b, c).

Lưu ý:

• Tất cả các bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b).
• Mọi số tự nhiên đều là bội của 1.
• Với mọi số tự nhiên a và b (khác 0) ta có: BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = (a, b).

c) Cách tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Quy tắc:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.

Tích đó là BCNN phải tìm.

Chú ý: 

• Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó. 

        Chẳng hạn, BCNN(3, 4, 5) = 3.4.5 = 60.

• Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy.

        Chẳng hạn, BCNN(4, 8, 24) = 24.