Bài tập cuối chương 8

Hướng dẫn giải

Tham khảo: 

a) Xét \(\Delta BFC\) và \(\Delta CEB\) có:

BC là cạnh chung

\(\widehat B = \widehat C\)(\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat {BEC} = \widehat {CFB} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta BFC = \Delta CEB\)(cạnh huyền – góc nhọn )

b) Vì \(\Delta BFC = \Delta CEB \Rightarrow \) BF = EC (2 cạnh tương ứng)

Mà AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\( \Rightarrow \) AF = AE (AB – BF = AC – EC )

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta AFH\)ta có :

AF = AE (chứng minh trên)

AH cạnh chung

\(\widehat {HFA} = \widehat {HEA} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta AEH = \Delta AFH\)(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

c) Vì CF, BE là những đường cao của tam giác ABC và H là giao điểm của chúng

\( \Rightarrow \) H là trực tâm của tam giác ABC

\( \Rightarrow \) AH vuông góc với BC (1)

Xét \(\Delta AIC\) và \(\Delta AIB\) có :

IB = IC (I là trung điểm BC)

AI là cạnh chung

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)

\( \Rightarrow \Delta AIC = \Delta AIB(c - c - c)\)

\( \Rightarrow \widehat {AIC} = \widehat {AIB}\) (2 góc tương ứng) Mà chúng ở vị trí kề bù \( \Rightarrow \widehat {AIC} = \widehat {AIB} = {90^o}\)\( \Rightarrow AI \bot BC\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) A, H, I thẳng hàng.

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a)      Xét \(\Delta BHA\)và\(\Delta BHM\) có :

\(\widehat {BHA} = \widehat {BHM} = {90^o}\)

BH cạnh chung

AH = HM (do M đối xứng với A qua H)

\( \Rightarrow \Delta BHA = \Delta BHM(c - g - c)\)

\( \Rightarrow AB = BM\) (cạnh tương ứng) và \(\widehat {ABH} = \widehat {MBH}\)

\( \Rightarrow \Delta ABM\) cân tại B (2 cạnh bên bằng nhau)

b)      Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta MBC\)ta có :

AB = BM (câu a)

\(\widehat {ABH} = \widehat {MBH}\)(câu a)

BC cạnh chung

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta MBC(c - g - c)\)

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

a, Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta ACH\) có

\(DH=CH\left(gt\right)\)

\(AH\) chung

\(\widehat{AHD}=\widehat{AHC}=90^o\) (\(AH\) là đường cao )

\(=>\Delta ADH=\Delta ACH\left(c-g-c\right)\)

\(=>AD=AC\) (đpcm)

b, 

\(=>\widehat{ADH}=\widehat{ACH}\)

mà \(\widehat{ACH}=\widehat{BAH}\) ( cùng phụ \(\widehat{HAC}\) )

\(=>\widehat{ADH}=\widehat{BAH}\left(đpcm\right)\)

(Trả lời bởi Quỳɴн ɴнư)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a)      Xét \(\Delta BAE\) và \(\Delta BNE\) có :

BA = BN (giả thiết)

BF cạnh chung

\(\widehat {BEA} = \widehat {BEN}\)

\( \Rightarrow \Delta BAE = \Delta BNE\)(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \widehat {ABF} = \widehat {NBF}\)(góc tương ứng)

\( \Rightarrow \) BE là phân giác của góc ABN

b)      Vì K là giao của 2 đường cao \( \Rightarrow \)K là trực tâm tam giác ABN

\( \Rightarrow \) KN vuông góc với AB(1)

Vì CA vuông góc với AB ( tam giác ABC vuông tại A)(2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) KN song song với CA (quan hệ cùng vuông góc với 1 đường)

c)      Ta có \(\Delta BAF = \Delta BNF(c - g - c)\)do có :

\(\widehat {BEA} = \widehat {BEN}\)

BF cạnh chung

BN = BA

\( \Rightarrow \widehat {BNF} = \widehat {BAF}\) (2 góc tương ứng).

Mà \(\widehat {BAF} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {BNF} = \widehat {BAF} = {90^o}\)

\( \Rightarrow GN \bot BC\)

Ta có CA và GN là 2 đường cao của tam giác GBC

\( \Rightarrow \)F là trực tâm của tam giác GBC

\( \Rightarrow \)BF vuông góc với GC tại P

Xét \(\Delta BGP\) và \(\Delta BCP\) ta có :

BP cạnh chung

\(\widehat {BPC} = \widehat {BPG} = {90^o}\)

\(\widehat {PBC} = \widehat {PBG}\)

\( \Rightarrow \Delta BGP = \Delta BCP(c - g - c)\)

\( \Rightarrow BC = BG\)(2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \)Tam giác GBC cân tại B 

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Ta xét tam giác BMC cân tại M nên \(\widehat {MBC} = \widehat {MCB}\)

Nên \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {MBC} = {90^o} - \widehat {MBC}\)

b) Ta chứng minh I là trung điểm của AK do \(\Delta MAI = \Delta MKI\)(g-c-g)

Lời giải :

a)      Xét tam giác BMC cân tại M (Do M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC) có : \(\widehat {MBC} = \widehat {MCB}\)(góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BMN} = {90^o} - \widehat {MBC}\)và \(\widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {BCM}\)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)

b)      Ta có MN⫽AH (do cùng vuông góc với BC)

\( \Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {KMN}\)(2 góc so le trong)

Mà \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)( chứng minh a)

\( \Rightarrow \widehat {KAM} = \widehat {AKM}\)( do cùng =\(\widehat {BMN}\))

Xét \(\Delta MIA\) và \(\Delta MIK\)có :

IM cạnh chung

\(\widehat {KAM} = \widehat {AKM}\)

\(\widehat {AIM} = \widehat {MIK} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta MIA = \Delta MIK\)(cạnh góc vuông-góc nhọn)

\( \Rightarrow \)AI = IK (cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \)I là trung điểm AK

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Vì N đối xứng với D qua F (theo giả thiết)

Nên NF = DF (1)

Vì F là trung điểm của MP (theo giả thiết)

Nên MF = PF (2)

Vì góc NFM và góc PFD ở vị trí đối đỉnh nên 2 góc bằng nhau (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \)\(\Delta \)MFN = \(\Delta \)PFD (c-g-c)

b) Xét tam giác MPD có :

F là trung điểm MD,

K là trung điểm DP (theo giả thiết)

Mà 2 đường trung tuyến của tam giác MPD là DF và MK cắt nhau tại H

\( \Rightarrow \) H là trọng tâm \(\Delta \)MPD

\( \Rightarrow \) M, H, K thẳng hàng

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Xét \(\Delta \)BAD và \(\Delta \)EAD có :

AD là cạnh chung

AB = AE =\(\dfrac{1}{2}\)AC

\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\)(do AD là phân giác góc A)

\( \Rightarrow \Delta BAD = \Delta EAD\)(c-g-c)

\( \Rightarrow \)DE = DB (cạnh tương ứng) và \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)(góc tương ứng)

b) Xét \(\Delta \)KAE và \(\Delta \)CAB có :

AE = AB

\(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)(chứng minh a)

Góc A chung

\( \Rightarrow \Delta KAE = \Delta CAB\)(g-c-g)

\( \Rightarrow \)KE = CB (cạnh tương ứng)

Mà KE = ED + DK và CB = BD + DC

\( \Rightarrow \)KE – ED = CB – BD \( \Rightarrow \)DK = DC

\( \Rightarrow \)\(\Delta DCK\)cân tại D

+) Xét \(\Delta \)KDB và \(\Delta \)CDE có :

DB = DE

DK = DC

\(\widehat {KDB} = \widehat {CDE}\)(2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta KDB = \Delta CDE\)(c-g-c)

\( \Rightarrow \)KB = EC \( \Rightarrow \) KB = AB (do cùng = EC) \( \Rightarrow \)B là trung điểm AK

c) Vì \(\Delta KAE\) = \(\Delta CAB\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \)AK = AC (cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \)\(\Delta \)AKC vuông cân tại A

Mà AD là phân giác góc A nên AD sẽ vừa là phân giác vừa là đường cao của \(\Delta \)AKC

\( \Rightarrow \)AD\( \bot \)KC

\( \Rightarrow \)AH\( \bot \)KC (do H \(in\) AD)

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Theo giả thiết ta có tam giác ABC cân tại A do có 2 góc đáy bằng nhau

\( \Rightarrow \)A cách đều 2 đều B, C

\( \Rightarrow \) A thuộc trung trực đoạn thẳng BC (1) (Tính chất điểm cách đều 2 đầu mút đoạn thẳng)

Xét \(\Delta \)AEC và \(\Delta \)AFB ta có :

AE = AF

Góc A chung

AC = AB

\( \Rightarrow \Delta AEC = \Delta AFB\)(c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {ECA} = \widehat {FBA}\)(góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ABF} + \widehat {FBC}\)

           \(\widehat {ACB} = \widehat {ACE} + \widehat {ECB}\)

Mà \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\)(giả thiết) và \(\widehat {ECA} = \widehat {FBA}\)(chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {ECB} = \widehat {FBC}\)\( \Rightarrow \)\(\Delta \)HBC cân tại H do có 2 góc đáy bằng nhau

\( \Rightarrow \) H cách đều BC \( \Rightarrow \) H thuộc trung trực BC (2) (Tính chất điểm cách đều 2 đầu mút đoạn thẳng)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) AH là trung trực của BC 

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a)Xét \(\Delta \)BHE và \(\Delta \)BHM có :

BH là cạnh chung

EH = HM (do M đối xứng E qua H)

\(\widehat {BHE} = \widehat {BHM} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta \)BHE = \(\Delta \)BHM (c-g-c)

\( \Rightarrow \)BM = BE (cạnh tương ứng)

và \(\widehat {EBH} = \widehat {MBH}\)(góc tương ứng) (1)

\( \Rightarrow \)\(\Delta \)BEM cân tại B (2 cạnh bên bằng nhau)

b)Xét \(\Delta \)BHM vuông tại H \( \Rightarrow \widehat {BMH} + \widehat {MBH} = {90^o}\)

Xét \(\Delta \)AMC vuông tại A \( \Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {MCA} = {90^o}\)

Mà \(\widehat {HMB} = \widehat {AMC}\)(2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {MBH} = {90^o} - \widehat {AMC} = {90^o} - \widehat {HMB}\)(2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {ACM}\)

c)Vì \(\widehat {BCM} = \widehat {ACM}\) (do CM là phân giác góc C)

\( \Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {BCM}\)(cùng bằng \(\widehat {AMC}\)) (3)

Xét \(\Delta \)EHB vuông tại H có \(\widehat {EBH} + \widehat {BEH} = {90^o}\)(4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {BCM} + \widehat {BEH} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {EBC} = {90^o} \Rightarrow EB \bot BC\) 

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

Vì b vuông góc với a tại J (theo giả thiết) và M thuộc b

\( \Rightarrow MJ \bot IK\)(1)

Vì đường thẳng qua I vuông góc với MK và cắt b tại N (gọi C là giao của MK và đường thẳng qua I vuông góc với MK)

\( \Rightarrow MK \bot IC\)(2)

Từ (1) và (2)\( \Rightarrow \)N là trực tâm ΔMIK

\( \Rightarrow \)NK là đường cao của ΔMIK (Các đường cao trong tam giác đi qua trực tâm)

\( \Rightarrow \)KN \( \bot \)MI 

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)