Bài tập cuối chương 2

1. Số nguyên âm và tập hợp các số nguyên

• Số nguyên âm được ghi như sau: - 1; - 2; - 3; ... và được đọc là: âm một, âm hai, âm  ba, ... hoặc: trừ một, trừ hai, trừ ba, ...
• Tập hợp các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp số nguyên.
• Kí hiệu \(\mathbb{Z}\) là tập hợp số nguyên. Khi đó \(\mathbb{Z} = \{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}\).

Chẳng hạn: - 6 là số nguyên âm, 12 là số nguyên dương. 

Lưu ý: Số 0 không là số nguyên âm và cũng không là số nguyên dương.

Trong thực tế, ta thường dùng số nguyên để biểu thị các đại lượng có hướng ngược nhau, chẳng hạn:

Chẳng hạn, năm 212 TCN biểu diễn bằng số nguyên là - 212.

2. Biểu diễn số nguyên trên trục số

Người ta biểu diễn các số nguyên như trong hình dưới đây:

Hình biểu diễn các số nguyên như trên gọi là trục số.

Điểm 0 (không) được gọi là điểm gốc của trục số.

Chiều từ trái sang phải gọi là chiều dương, chiều từ phải sang trái gọi là chiều âm của trục số.

Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục số gọi là điểm a.

3. Số đối của một số nguyên

Hai số nguyên trên trục số nằm ở hai phía của điểm 0 và cách đều điểm 0 được gọi là hai số đối nhau.

Chẳng hạn, số đối của 10 là - 10, số đối của - 8 là 8.

Chú ý:

• Số đối của một số nguyên dương là một số nguyên âm.
• Số đối của một số nguyên âm là một số nguyên dương.
• Số đối của 0 là 0.

4. So sánh hai số nguyên

Khi biểu diễn hai số nguyên a, b trên trục số nằm ngang, nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì ta nói a nhỏ hơn b hoặc b lớn hơn a và ghi là: a < b hoặc b > a.

Lưu ý:

• Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số 0.
• Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số 0.
• Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kì số nguyên dương nào.
• Với hai số nguyên âm, số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

Chẳng hạn, số - 2 nằm bên trái số 1, ta nói - 2 nhỏ hơn 1 và ghi là - 2 < 1.

5. Phép cộng hai số nguyên

Cộng hai số nguyên cùng dấu

• Muốn cộng hai số nguyên dương, ta cộng chúng như cộng hai số tự nhiên.
• Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai số đối của chúng rồi thêm dấu trừ đằng trước kết quả.
• Tổng của hai số nguyên cùng dấu luôn cùng dấu với hai số nguyên đó.

Chú ý: Cho a, b là hai số nguyên dương, ta có: 

(+ a) + (+ b) = a + b

(- a) + (- b) = - (a + b)

Ví dụ: 

1.  (+ 5) + (+ 9) = 5 + 9 = 14;
2.  (- 12) + (- 8) = - (12 + 8) = - 20.

Cộng hai số đối nhau

Tổng hai số nguyên đối nhau luôn luôn bằng 0: a + (- a) = 0.

Ví dụ: 24 + (- 24) = 0.

Cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau

Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta làm như sau:

• Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta lấy số dương trừ đi số đối của số âm.
• Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta lấy số đối của số âm trừ đi số dương rồi thêm dấu trừ trước kết quả.

Chú ý:

Khi cộng hai số nguyên trái dấu:

• Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta có tổng dương.
• Nếu số dương bằng số đối của số âm thì ta có tổng bằng 0.

Ví dụ: 

1. (- 19) + 45 = 45 - 19 = 26 (vì 45 > 19).
2. 15 + (- 55) = - (55 - 15) = - 40 (vì 15 < 55).

Tính chất của phép cộng các số nguyên

Phép cộng các số nguyên có tính chất giao hoán, kết hợp:

• Giao hoán: a + b = b + a.
• Kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c).

Chú ý:

• Tổng (a + b) + c hoặc a + (b + c) là tổng của ba số nguyên a, b, c và viết là a + b + c; a, b, c là các số hạng của tổng.
• Để tính tổng của nhiều số, ta có thể thay đổi tùy ý thứ tự các số hạng (tính giao hoán), hoặc nhóm tùy ý các số hạng (tính kết hợp) để việc tính toán được đơn giản và thuận tiện hơn.

6. Phép trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b.

a - b = a + (- b)

Chẳng hạn, 26 - 42 = 26 + (- 42) = - (42 - 26) = - 16.

Chú ý:

• Cho hai số nguyên a và b. Ta gọi a - b là hiệu của a và b (a được gọi là số bị trừ, b được gọi là số trừ).
• Phép trừ luôn thực hiện được trong tập hợp số nguyên.

Như vậy, hiệu của hai số nguyên a và b là tổng của a và số đối của b.

7. Quy tắc dấu ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc, nếu đằng trước dấu ngoặc:

• có dấu "+", thì vẫn giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc 

+ (a + b - c) = a + b - c

• có dấu "-", thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc

- (a + b - c) = - a - b + c

Chẳng hạn:

M = (- 95) - [(205 + 259) - 59]

= (- 95) - 205 - 259 + 59

= - (95 + 205) - (259 - 59)

= - 300 - 200

= - 100.

8. Phép nhân hai số nguyên

Nhân hai số nguyên khác dấu

• Tích của hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm.
• Khi nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân số dương với số đối của số âm rồi thêm dấu trừ (-) trước kết quả nhận được.

Chú ý: Cho hai số nguyên dương a và b, ta có:

• (+ a).(- b) = - ab
• (- a).(+ b) = - ab

Chẳng hạn: (- 11).6 = - 66; (+ 8).(- 5) = - 40.

Nhân hai số nguyên cùng dấu

• Khi nhân hai số nguyên cùng dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.
• Khi nhân hai số nguyên cùng âm, ta nhân hai số đối của chúng.

Chú ý:

• Cho hai số nguyên dương a và b, ta có: (- a).(- b) = (+ a).(+ b) = a.b.
• Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn luôn là một số nguyên dương.

Chẳng hạn, (- 7).(- 13) = 7.13 = 91.

9. Tính chất của phép nhân các số nguyên

Phép nhân các số nguyên có các tính chất: giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng (trừ):

• Giao hoán:  a.b = b.a.
• Kết hợp: (a.b).c = a.(b.c).
• Phân phối đối với phép cộng (trừ): a(b \(\pm\) c) = ab \(\pm\) ac.

10. Quan hệ chia hết và phép chia hết trong tập hợp số nguyên

Cho a, b \(\in\)  \(\mathbb{Z}\) và b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì

• Ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là a ⋮ b.
• Trong phép chia hết, dấu của thương hai số nguyên cũng giống như dấu của tích.

Ta gọi q là thương của phép chia a cho b, kí hiệu là a : b = q.

Chẳng hạn, ta có - 72 = 8.(- 9) nên ta nói:

• - 72 chia hết cho - 9;
• (- 72) : (- 9) = 8;
• 8 là thương của phép chia - 72 cho - 9.

11. Bội và ước của một số nguyên

• Cho a, b \(\in\)\(\mathbb{Z}\). Nếu a ⋮ b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.
• Nếu c vừa là ước của a, vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b.

Chẳng hạn, ta có 24 ⋮ (- 6) nên ta nói 24 là bội của - 6 và - 6 là ước của 24.