Nội dung lý thuyết
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên \(n\in N\)* là đúng với mọi \(n\) mà không thể thử trực tiếp được thì ta có thể làm như sau:
Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề đúng với \(n=1\).
Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n=k\ge1\) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
1. Định nghĩa
- Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \(N\)* được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), Kí hiệu:
\(u\) : \(N\)* \(\rightarrow\) \(R\)
\(n\) \(\rightarrow\) \(u\left(n\right)\)
Người ta viết dãy số dưới dạng khai triển \(u_1,u_2,u_3,...,u_n,...\)
trong đó \(u\left(n\right)=u_n\) hoặc viết tắt là \(\left(u_n\right)\), và gọi \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_n\) là số hạng thứ \(n\) và là số hạng tổng quát của dãy số.
- Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập \(M=\left\{1;2;3;...;m\right\}\) với \(m\in N\)* được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là \(u_1,u_2,u_3,...,u_m\) trong đó \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_m\) là số hạng cuối.
2. Cách cho một dãy số
- Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát:
Ví dụ:
a) Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\left(-1\right)^n.\dfrac{3^n}{n}\) (1).
Từ công thức (1) ta có thể xác định được bất kì số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn:
\(u_5=\left(-1\right)^5.\dfrac{3^5}{5}=-\dfrac{243}{5}\)
Nếu viết dãy số dưới dạng khai triển ta được:
\(-3,\dfrac{9}{2},-9,\dfrac{81}{4},...,\left(-1\right)^n.\dfrac{3^n}{n},...\)
b) Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\dfrac{n}{\sqrt{n}+1}\) có dạng khai triển là:
\(\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{\sqrt{2}+1},\dfrac{3}{\sqrt{3}+1},...,\dfrac{n}{\sqrt{n}+1},...\)
Như vậy, dãy số \(\left(u_n\right)\) hoàn toàn xác định nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó.
- Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:
Ví dụ: Số \(\pi\) là số thập phân vô hạn không tuần hoàn:
\(\pi=3,141592653589...\)
Nếu lập dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n\) là giá trị gần đúng thiếu của số \(\pi\) với sai số tuyệt đối \(10^{-n}\) thì
\(u_1=3,1\) ; \(u_2=3,14\) ; \(u_3=3,141\) ; \(u_4=3,1415\) ; ...
- Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi:
Cho một dãy số bằng phương pháp quy hồi tức là:
- Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) ;
- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ \(n\) qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước đó.
3. Dãy số tăng. Dãy số giảm và dãy số bị chặn
a) Dãy số tăng, Dãy số giảm
Dãy số \(\left(u_n\right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \(u_{n+1}>u_n\) với mọi \(n\in N\)*.
Dãy số \(\left(u_n\right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \(u_{n+1}< u_n\) với mọi \(n\in N\)*.
Ví dụ:
- Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=2n-1\) là dãy số tăng do ta có \(u_{n+1}-u_n=2\left(n+1\right)-2-\left(2n-1\right)=2>0\) hay \(u_{n+1}>u_n\) ;
- Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\dfrac{n}{3^n}\) là dãy số giảm do ta có \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{3^{n+1}}:\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{n+1}{3n}< 1\) hay \(u_{n+1}< u_n\); ...
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm.
Chẳng hạn dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\left(-3\right)^n\) không tăng cũng không giảm.
b) Dãy số bị chặn
Dãy số \(\left(u_n\right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho
\(u_n\le M,\forall n\in N\)*
Dãy số \(\left(u_n\right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho
\(u_n\ge m,\forall n\in N\)*
Dãy số \(\left(u_n\right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M\), \(m\) sao cho
\(m\le u_n\le M,\forall n\in N\).
Ví dụ:
- Dãy số Phi-bô-na-xi bị chặn dưới vì \(u_n\ge1\) với mọi \(n\in N\)*
- Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\dfrac{n}{n^2+1}\) bị chặn vì \(0\le\dfrac{n}{n^2+1}\le\dfrac{1}{2}\).
1. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\).
Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d\), ta có công thức truy hồi:
\(u_{n+1}=u_n+d\) với \(n\in N\)*
Đặc biệt khi \(d=0\) thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Ví dụ: Dãy số \(1;-3;-7;-11;-15\) là một cấp số cộng với công sai \(d=-4\) ;
Dãy số \(\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{6};\dfrac{4}{3};\dfrac{11}{6};\dfrac{7}{3}\) là một cấp số cộng với công sai \(d=\dfrac{1}{2}\).
Ngoài các cấp số cộng có hữu hạn phần tử, người ta còn xét những cấp số cộng có vô hạn phần tử. Ví dụ dãy các bội số dương của 3 là một cấp số cộng có vô hạn phần tử với số hạng đầu là 3 và công sai là 3.
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức:
\(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\) với \(n\ge2\).
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\(u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k\ge2\).
4. Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\). Đặt \(S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n\).
Khi đó \(S_n=\dfrac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}\).
Chú ý: Vì \(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\) nên công thức (4) có thể viết:
\(S_n=nu_1+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}d\) .
1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi \(q\)
Số \(q\) gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (\(u_n\)) là cấp số nhân với công bội \(q\), ta có công thức truy hồi:
\(u_{n+1}=u_nq\), với \(n\in N\)
Đặc biệt:
+) Khi \(q=0\), cấp số nhân có dạng \(u_1,0,0,0,...,0,...\) ;
+) Khi \(q=1\), cấp số nhân có dạng \(u_1,u_1,u_1,...,u_1,...\) ;
+) Khi \(u_1=0\) thì với mọi \(q\), cấp số nhân có dạng \(0,0,0,...,0,...\).
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức:
\(u_n=u_1.q^{n-1}\) với \(n\ge2\).
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
\(\left(u_k\right)^2=u_{k-1}.u_{k+1}\), với \(k\ge2\)
hay \(\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}}\).
4. Tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) với công bội \(q\ne1\). Đặt
\(S_n=u_1+u_2+...+u_n\)
Khi đó \(S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}\) .
Nếu \(q=1\) thì \(S_n=n.u_1\).