Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa:

Trong không gian, cho \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là hai vectơ khác vectơ - không. Lấy một điểm \(A\) bất kì, gọi \(B\) và \(C\) là hai điểm sao cho \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}\). Khi đó ta gọi góc \(\widehat{BAC}\) (\(0^0\le\widehat{BAC}\le180^0\)) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) trong không gian, kí hiệu là \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\).

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa:

Trong không gian cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) đều khác vectơ - không. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\), được xác định bởi công thức:

                       \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\)

Trường hợp \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\) hoặc \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\) ta quy ước \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\).

Ví dụ 1: Cho tứ diện \(OABC\) có các cạnh \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và \(OA=OB=OC=1\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{BC}\).

Giải:

Ta có \(\cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{OM}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}\)

Mặt khác: \(\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}^2\right)\)

Vì \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc  và \(OB=1\) 

nên \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=0\) và \(\overrightarrow{OB}^2=1\)

Suy ra \(\cos\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{1}{2}\). Vậy \(\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=120^0\).

II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

Vectơ \(\overrightarrow{a}\) khác vectơ - không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) nếu giá của vectơ \(\overrightarrow{a}\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(d\).

2. Nhận xét

a) Nếu \(\overrightarrow{a}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) thì vectơ \(k\overrightarrow{a}\) với \(k\ne0\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

b) Một đường thẳng \(d\) trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm \(A\) thuộc \(d\) là một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}\) của nó.

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.

III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian là góc giữa hai đường thẳng \(a'\) và \(b'\) cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với \(a\) và \(b\).

2. Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) ta có thể lấy điểm \(O\) thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vec một đường thẳng qua \(O\) và song song với đường thẳng còn lại.

b) Nếu \(\overrightarrow{u}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(a\) và \(\overrightarrow{v}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(b\) và \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\alpha\) thì góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) bằng \(\alpha\) nếu \(0^0\le\alpha\le90^0\) và bằng \(180^0-\alpha\) nếu \(90^0< \alpha\le180^0\). Nếu \(a\) và \(b\) song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \(0^0\).

Ví dụ 2: Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA=SB=SC=AB=AC=a\) và \(BC=a\sqrt{2}\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).

Giải:

Ta có \(\cos\left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{SC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|}=\dfrac{\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{AB}}{a.a}\)

         \(\cos\left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{a^2}\)

Nhận thấy \(AB^2+AC^2=BC^2\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) suy ra \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\)

Tam giác \(SAB\) đều nên \(\left(\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AB}\right)=120^0\) và do đó \(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB}=a.a.\cos120^0=-\dfrac{a^2}{2}\)

Từ đó tính được \(\cos\left(\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right)=-\dfrac{1}{2}\). Do đó \((\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB})=120^0\)

Ta suy ra góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) bằng \(180^0-120^0=60^0\).

IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^0\).

Kí hiệu: \(a\perp b,d\perp d',...\)

2. Nhận xét

a) Nếu \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(a\) và \(b\) thì: \(a\perp b\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\).

b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ví dụ 3: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB\perp AC\) và \(AB\perp BD\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm \(AB,CD\). Chứng minh rằng \(AB\) và \(PQ\) là hai đường thẳng vuông góc.

Giải:

Ta có \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CQ}\) và \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DQ}\)

Do đó \(2\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)

Khi đó \(2\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right).\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AB}=0\)

Hay \(\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB}=0\) tức là \(PQ\perp AB\).