Bài 2: Hai đường chéo nhau và hai đường thẳng song song

I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian. Có thể xảy ra một trong hai trường hợp:

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa \(a\) và \(b\).

Khi đó ta nói \(a\) và \(b\) đồng phẳng. Có ba khả năng xảy ra:

+) \(a\) và \(b\) có điểm chung duy nhất là \(M\), ta nói \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(M\), kí hiệu là \(a\cap b=\left\{M\right\}\) hoặc có thể viết \(a\cap b=M\).

+) \(a\) và \(b\) không có điểm chung. Ta nói  \(a\) và \(b\) song song với nhau và kia hiệu là  \(a\) // \(b\) .

+) \(a\) trùng \(b\), kí hiệu \(a\equiv b\).

Như vậy, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa \(a\) và \(b\).

Khi đó ta nói  \(a\) và \(b\) chéo nhau hay \(a\) chéo với \(b\):

II. TÍNH CHẤT

Định lí 1:

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Nhận xét: Hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\) xác định một mặt phẳng, kí hiệu là \(mp\left(a,b\right)\) hay \(\left(a,b\right)\).

Ví dụ 1: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Xác định giao tuyến của các mặt phẳng \(\left(SAD\right)\) và \(\left(SBC\right)\).

Giải:

Các mặt phẳng \(\left(SAD\right)\) và \(\left(SBC\right)\) có điểm chung là \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(AD\) và \(BC\)

Nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD,BC\).

Định lí 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc là đồng quy hoặc là đôi một song song với nhau.

Hệ quả: 

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ 2: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(BD\). \(\left(P\right)\) là mặt phẳng qua \(IJ\) và cắt \(AC,AD\) lần lượt tại \(M,N\). Chứng minh rằng tứ giác \(IJNM\) là hình thang. Nếu \(M\) là trung điểm của \(AC\) thì \(IJNM\) là hình gì?

Giải:

Ba mặt phẳng \(\left(ACD\right)\), \(\left(BCD\right)\) và \(\left(P\right)\) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến \(CD,IJ,MN\). 

Vì \(IJ\)//\(CD\) (\(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\)) nên theo định lí 2 ta có \(IJ\)//\(MN\).

Vậy tứ giác \(IJNM\) là hình thang.

Nếu \(M\) là trung điểm của \(AC\) thì \(N\) là trung điểm của \(AD\). Khi đó \(IJNM\) có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên \(IJNM\) là hình bình hành.

Định lí 3:

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Ta gọi chúng là ba đường thẳng song song.

Ví dụ 3: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N,P,Q,R,S\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(AC,BD,AB,CD,AD,BC\). Chứng minh rằng các đoạn thẳng \(MN,PQ,RS\) đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn.

Giải:

Trong tam giác \(ACD\) ta có \(MR\) là đường trung bình nên \(MR\)//\(CD\) và \(MR=\dfrac{1}{2}CD\).

Tương tự trong tam giác \(BCD\) có \(SN\)//\(CD\) và \(SN=\dfrac{1}{2}CD\).

Từ đó suy ra \(MR\)//\(SN\) và \(MR=SN\)

Do đó \(MRNS\) là hình bình hành. Như vậy \(MN,RS\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đoạn.

Tương tự ta cũng có tứ giác \(PRQS\) cũng là hình bình hành nên \(PQ,RS\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đoạn. 

Vậy \(MN,PQ,RS\) đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn.