§1. Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa: 

Vectơ \(\overrightarrow{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) nếu \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) và giá của \(\overrightarrow{u}\) song song hoặc trùng với \(\Delta\).

Ví dụ: Xét đường thẳng \(\Delta:y=\dfrac{1}{2}x\). Trên \(\Delta\) lấy 2 điểm \(M_0\left(2;1\right)\) và \(M\left(6;3\right)\).

Khi đó ta được \(\overrightarrow{M_0M}=\left(4;2\right)\) 

Xét một vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\). Nhận thấy \(\overrightarrow{M_0M}=2.\overrightarrow{u}\) suy ra \(\overrightarrow{M_0M}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\).

Khi đó ta nói \(\overrightarrow{u}\) song song với đường thẳng \(\Delta:y=\dfrac{1}{2}x\) 

Hay \(\overrightarrow{u}\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta:y=\dfrac{1}{2}x\).

Nhận xét: 

- Nếu \(\overrightarrow{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) thì \(k\overrightarrow{u}\left(k\ne0\right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta\). Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. 

2. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Định nghĩa

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M_0\left(x_0;y_0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)\) làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm \(M\left(x;y\right)\) bất kì trong mặt phẳng, ta có \(\overrightarrow{M_oM}=\left(x-x_0;y-y_0\right)\). Khi đó: \(M\in\Delta\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{M_0M}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{M_0M}=t\overrightarrow{u}\)

                        \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-x_0=tu_1\\y-y_0=tu_2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x_0+tu_1\\y=y_0+tu_2\end{matrix}\right.\) (1)

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\), trong đó \(t\) là tham số.

Cho \(t\) một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng \(\Delta\).

Ví dụ 1: Một đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là \(\left\{{}\begin{matrix}x=5-6t\\y=2+8t\end{matrix}\right.\). 

Ta có thể xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u}=\left(-6;8\right)\)

Cho \(t=1\) ta xác định được một điểm nằm trên \(d\) có toạ độ là \(A\left(-1;10\right)\).

b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=x_0+tu_1\\y=y_0+tu_2\end{matrix}\right.\)

Nếu \(u_1\ne0\) thì từ phương trình tham số của \(\Delta\) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}t=\dfrac{x-x_0}{u_1}\\y-y_0=tu_2\end{matrix}\right.\)

Suy ra \(y-y_0=\dfrac{u_2}{u_1}\left(x-x_0\right)\)

Đặt \(k=\dfrac{u_2}{u_1}\) ta được \(y-y_0=k\left(x-x_0\right)\)

Gọi \(A\) là giao điểm của \(\Delta\) với trục hoành. \(Av\) là tia thuộc \(\Delta\) ở về phía mặt phẳng tạ độ phía trên (chứa tia \(Oy\)). Đặt \(\alpha=\widehat{xAv}\), ta thấy \(k=\tan\alpha\).

Số \(k\) chính là hệ số góc của đường thẳng \(\Delta\).

Như vậy, Nếu đường thẳng \(\Delta\) có vectơchỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)\) với \(u_1\ne0\) thì \(\Delta\) có hệ số góc \(k=\dfrac{u_2}{u_1}\).

Ví dụ 1: Tính hệ số góc của đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(-1;\sqrt{3}\right)\).

Hệ số góc \(k\) của đường thẳng \(d\) được tính bởi công thức \(k=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}\).

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(A\left(2;3\right)\) và \(B\left(3;1\right)\). Tính hệ số góc của \(\Delta\).

Giải:

Với \(A\left(2;3\right)\) và \(B\left(3;1\right)\) ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-2\right)\)

Vì \(\Delta\) đi qua \(A\) và \(B\) nên \(\Delta\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-2\right)\)

Phương trình tham số của \(\Delta\) là \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=3-2t\end{matrix}\right.\)

Hệ số góc của \(\Delta\) là \(k=\dfrac{u_2}{u_1}=-\dfrac{2}{1}=-2\)

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa:

Vectơ \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\) nếu \(\overrightarrow{n}\ne\overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của \(\Delta\).

Ví dụ: Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=-5+2t\\y=4+3t\end{matrix}\right.\) và vectơ \(\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)\).

Vectơ chỉ phương của \(\Delta\) là \(\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)\)

Ta có \(\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)=\dfrac{2.3+3.\left(-2\right)}{\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}}=0\) suy ra \(\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)=90^0\)

Hay vectơ \(\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)\) vuông góc với \(\overrightarrow{u}\)

Ta nói \(\overrightarrow{n}=\left(3;-2\right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\).

Nhận xét:

- Nếu \(\overrightarrow{n}\) là một vectơ pháp tuyến của của đường thẳng \(\Delta\) thì \(k\overrightarrow{n}\left(k\ne0\right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta\). Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

a) Định nghĩa 

Phương trình \(ax+by+c=0\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\), được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét: Nếu đường thẳng \(\Delta\) có phương trình là \(ax+by+c=0\) thì \(\Delta\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)\) và vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(-b;a\right)\).

b) Ví dụ: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(A\left(2;2\right)\) và \(B\left(4;3\right)\)

Giải:

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(A\left(2;2\right)\) và \(B\left(4;3\right)\) nên \(\Delta\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\).

Từ đó suy ra \(\Delta\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(-1;2\right)\).

Vậy \(\Delta\) có phương trình tổng quát là \(\left(-1\right).\left(x-2\right)+2.\left(y-2\right)=0\)

Hay \(x-2y+2=0\).

c) Các trường hợp đặc biệt

Cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tổng quát \(ax+by+c=0\)  (1)

+) Nếu \(a=0\) phương trình (1) trở thành \(by+c=0\) hay \(y=-\dfrac{c}{b}\)

Khi đó đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;-\dfrac{c}{b}\right)\)

+) Nếu \(b=0\) thì phương trình (1) trở thành \(ax+c=0\) hay \(x=-\dfrac{c}{a}\)

Khi đó đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm \(\left(-\dfrac{c}{a};0\right)\)

+) Nếu \(c=0\) thì phương trình (1) trở thành \(ax+by=0\)

Khi đó đường thẳng \(\Delta\) đi qua gốc toạ độ \(O\)

+) Nếu \(a,b,c\) đều khác 0 ta có thể đưa phương trình (1) về dạng \(\dfrac{x}{a_0}+\dfrac{y}{b_0}=1\) (2)

với \(a_0=-\dfrac{c}{a}\), \(b_0=-\dfrac{c}{b}\). 

Phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn , đường thẳng này cắt \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt tại \(M\left(a_0;0\right)\) và \(N\left(0;b_0\right)\).

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) có phương trình tổng quát lần lượt là 

     \(a_1x+b_1y+c_1=0\)  và   \(a_2x+b_2y+c_2=0\)

Toạ độ giao điểm của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) là nghiệm của hệ phương trình:

                  \(\left\{{}\begin{matrix}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{matrix}\right.\)    (I) 

Ta có các trường hợp:

a) Hệ (I) có một nghiệm \(\left(x_0;y_0\right)\). Khi đó \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2\) tại điểm \(M_0\left(x_0;y_0\right)\).

b) Hệ (I) có vô số nghiệm. Khi đó \(\Delta_1\) trùng với \(\Delta_2\).

c) Hệ (I) vô nghiệm. Khi đó \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) không có điểm chung, hay \(\Delta_1\) song song với \(\Delta_2\).

Ví dụ: Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(x-y+1=0\). Xét vị trí tương đối của \(d\) với các đường thẳng:

a) \(\Delta_1\): \(2x+y-4=0\)

b) \(\Delta_2\): \(x-y-1=0\)

c) \(\Delta_3\): \(2x-2y+2=0\)

Giải:

a) Xét \(d\) và \(\Delta_1\), ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+1=0\\2x+y-4=0\end{matrix}\right.\)

Hệ này có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

Suy ra \(d\) cắt \(\Delta_1\) tại \(M\left(1;2\right)\).

b) Xét \(d\) và \(\Delta_2\), ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+1=0\\x-y-1=0\end{matrix}\right.\)

Hệ này vô nghiệm. Suy ra \(d\) song song với \(\Delta_2\).

c) Xét \(d\) và \(\Delta_3\), ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+1=0\\2x-2y+2=0\end{matrix}\right.\)

Hệ này có vô số nghiệm. Suy ra \(d\) trùng \(\Delta_3\).

6. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) được kí hiệu là \(\widehat{\left(\Delta_1,\Delta_2\right)}\) hoặc \(\left(\Delta_1,\Delta_2\right)\).

Cho hai đường thẳng:

               \(\Delta_1\): \(a_1x+b_1y+c_1=0\)

               \(\Delta_2\): \(a_2x+b_2y+c_2=0\)

Đặt \(\varphi=\left(\Delta_1;\Delta_2\right)\) thì ta thấy \(\varphi\) bằng hoặc bù với góc giữa \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) là hai vectơ pháp tuyến của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\). Vì \(\cos\varphi\ge0\) nên ta suy ra 

          \(\cos\varphi=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}\)

Vậy  

          \(\cos\varphi=\dfrac{\left|a_1a_2+b_1b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\)

Chú ý: +) \(\Delta_1\perp\Delta_2\Leftrightarrow\overrightarrow{n_1}\perp\overrightarrow{n_2}\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2=0\)

           +) Nếu \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) có phương trình \(y=k_1x+m_1\) và \(y=k_2x+m_2\) thì 

                     \(\Delta_1\perp\Delta_2\Leftrightarrow k_1.k_2=-1\)

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(ax+by+c=0\) và điểm \(M_0\left(x_0;y_0\right)\). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(\Delta\), kí hiệu là \(d\left(M_0,\Delta\right)\), được tính bởi công thức:

             \(d\left(M_0,\Delta\right)=\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm \(M\left(-2;1\right)\) đến đường thẳng \(\Delta:3x-2y-1=0\).

Giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ta có:

\(d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|3.\left(-2\right)-2.1-1\right|}{\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{9}{\sqrt{13}}\)