\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

n^3-n=n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp

=>tồn tại 1 bội của 3 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 3

=>tồn tại ít nhất 1 bội của 2 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2

mà (2;3)=1=>n(n-1)(n+1)chia hết cho 6

hay n^3-n chia hết cho 6

n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)

=n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)

=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5(n-1)n(n+1)

n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp

=>tồn tại 1 bội của 5 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 5

=>tồn tại ít nhất2 bội của 2 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2

mà (2;5)=1=>n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 10

n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp

=>tồn tại ít nhất 1 bội của 2 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2

=>5n(n-1)(n+1) chia hết cho 10

=>n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5(n-1)n(n+1)chia hết cho 10

hay n^5-n chia hết cho 10

A= n⁵ -n = n(n²+1)(n+1)(n-1) 

+Nếu n =5k  => A chia hết cho 5

+ n =5k+1 =>  n-1 = 5k+1 -1 =5k chia hết cho 5 =>A chia heét cho 5

+ n= 5k+2 => n²+1 =(5k+2)²+1 = 25k² +20k +4+1 =5(5k²+4k+1) chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+ n= 5k+3  => n² +1 = tương tự chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+ n =5k+4 => n+1 = 5k+4+1 =5(k+1) chia hết cho 5 => A chia hêts cho 5

Vậy A= n⁵ -n  chia hết cho 5 với mọi n thuộc N

A= n⁵ -n = n(n²+1)(n+1)(n-1)

+Nếu n =5k  => A chia hết cho 5

+ n =5k+1 =>  n-1 = 5k+1 -1 =5k chia hết cho 5 =>A chia heét cho 5

+ n= 5k+2 => n²+1 =(5k+2)²+1 = 25k² +20k +4+1 =5(5k²+4k+1) chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+ n= 5k+3  => n² +1 = tương tự chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+ n =5k+4 => n+1 = 5k+4+1 =5(k+1) chia hết cho 5 => A chia hêts cho 5

Vậy A= n⁵ -n  chia hết cho 5 với mọi n thuộc N

Xét n chẵn thì n^3+n+2 xẽ là số chẵn mà n thuộc vào N* nên n>0  =>n^3+n+2 >2 nên n^3+n+2 là hợp số.

Xét n lẻ thì n^3 là lẻ nên n^3+n là số chẵn => n^3+n+2 chẵn. Chứng minh như trên.

Có thể bạn ko cần phải chứng minh n^3+n là chẵn trong trường hợp trên nhưng chứng minh thì cũng ko thừa đâu.

Ta có :

\(n^3-13n=\left(n^3-n\right)-12n\)

\(=n\left(n^2-1\right)-6.\left(2n\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6\left(2n\right)\)

\(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3; hay chia hết cho 6.

Mà \(6\left(2n\right)\) chia hết cho 6

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6\left(2n\right)\)chia hết cho 6

Do đó \(n^3-13n\)chia hết cho 6.

\(A=n^3-13n=n^3-n-12n=n\left(n^2-1\right)-12n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-12n\)

Ta có:

\(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)chia hết cho 6.

\(12n\)chia hết cho 6.

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-12n\)chia hết cho 6

Hay \(n^3-13n\)chia hết cho 6.