Ta có:

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với  \(a^2+b^2+c^2\ne0\)  (do  \(a,b,c\ne0\)), ta được:

\(x^2+y^2+z^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)\)  \(\left(1\right)\)

Khi đó, ta khai triển vế phải của \(\left(1\right)\)  thì  \(\left(1\right)\) trở thành:

\(VP=x^2+\frac{a^2y^2}{b^2}+\frac{a^2z^2}{c^2}+\frac{b^2x^2}{a^2}+y^2+\frac{b^2z^2}{c^2}+\frac{c^2x^2}{a^2}+\frac{c^2y^2}{b^2}+z^2\)

So sánh vế trái của đẳng thức \(\left(1\right)\), ta dễ dàng nhận thấy cả hai vế có cùng đa thức \(x^2+y^2+z^2\) nên ta có thể viết lại  \(\left(1\right)\)  như sau:

\(\frac{a^2y^2}{b^2}+\frac{a^2z^2}{c^2}+\frac{b^2x^2}{a^2}+\frac{b^2z^2}{c^2}+\frac{c^2x^2}{a^2}+\frac{c^2y^2}{b^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(\frac{b^2x^2}{a^2}+\frac{c^2x^2}{a^2}\right)+\left(\frac{c^2y^2}{b^2}+\frac{a^2y^2}{b^2}\right)+\left(\frac{a^2z^2}{c^2}+\frac{b^2z^2}{c^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\frac{x^2}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+\frac{y^2}{b^2}\left(c^2+a^2\right)+\frac{z^2}{c^2}\left(a^2+b^2\right)=0\)  \(\left(2\right)\)

Mặt khác, ta cũng có  \(a,b,c\ne0\) (gt) nên \(a^2,b^2,c^2\ne0;\)   \(a^2+b^2\ne0;\)  \(b^2+c^2\ne0\)  và  \(c^2+a^2\ne0\)  \(\left(3\right)\)

Từ  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\), ta dễ dàng suy ra được  \(x=y=z=0\)

Vậy,  \(x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=0\)

a)Ta có: ab+ac+bc=-7                        (ab+ac+bc)^2=49

nên

(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2=49

nên a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2−2(ab)^2−2(ac)^2−2(bc^)2=98

b) (x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)= 
=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 <=> 
x^2+y^2+z^2=x^2+(a^2/b^2)y^2+ 
+(a^2/c^2)z^2+(b^2/a^2)x^2+y^2+ 
+(b^2/c^2)z^2+(c^2/a^2)x^2+ 
+(c^2/b^2)y^2+z^2 <=> 
[(b^2+c^2)/a^2]x^2+[(a^2+c^2)/b^2]y^2+ 
+[(a^2+b^2)/c^2]z^2 = 0 (*) 
Đặt A=[(b^2+c^2)/a^2]x^2; B=[(a^2+c^2)/b^2]y^2; 
và C=[(a^2+b^2)/c^2]z^2 
Vì a,b,c khác 0 nên suy ra A,B,C đều không âm 
Từ (*) ta có A+B+C=0 
Tổng 3 số không âm bằng 0 thì cả 3 số đều phải bằng 0,tức A=B=C=0 
Vì a,b,c khác 0 nên [(b^2+c^2)/c^2]>0 =>x^2=0 =>x=0 
Tương tự B=C=0 =>y^2=z^2=0 => y=z=0 
Vậy x^2011+y^2011+z^2011=0 
Và x^2008+y^2008+z^2008=0.

ta có \(\frac{x^2}{a^2}\)+ \(\frac{y^2}{b^2}\)+\(\frac{z^2}{c^2}\)= \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)

=> ( \(\frac{x^2}{a^2}\)+ \(\frac{y^2}{b^2}\)+ \(\frac{z^2}{c^2}\))( \(a^2+b^2+c^2\))= \(x^2+y^2+z^2\)

=> \(x^2\)+ \(\frac{\left(b^2+c^2\right)x^2}{a^2}\)+ \(y^2\)+ \(\frac{\left(a^2+c^2\right)y^2}{b^2}\)+ \(z^2\)+ \(\frac{\left(a^2+b^2\right)z^2}{c^2}\)= \(x^2+y^2+z^2\)

=> \(\frac{\left(b^2+c^2\right)x^2}{a^2}\)+ \(\frac{\left(a^2+c^2\right)y^2}{b^2}\)+ \(\frac{\left(a^2+b^2\right)z^2}{c^2}\)= 0

nhận xét ...... ( tát cả đều lớn hơn hoặc = 0 nên cả tổng sẽ lớn hơn hoặc = 0)

dấu = xảy ra khi và chi khi x=y = z = 0 ( vì a,b,c khác 0)

vậy \(x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}\)= 0 +0+0 = 0

Ta có

\(\frac{x^{2010}+y^{2010}+z^{2010}+t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{x^{2010}}{a^2}+\frac{y^{2010}}{b^2}+\frac{z^{2010}}{c^2}+\frac{t^{2010}}{d^2}\)

\(=>\frac{x^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}+\frac{y^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}+\frac{z^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}+\frac{t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{x^{2010}}{a^2}+\frac{y^{2010}}{b^2}+\frac{z^{2010}}{c^2}+\frac{t^{2010}}{d^2}\)

\(=>\left(\frac{x^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{x^{2010}}{a^2}\right)+\left(\frac{y^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{y^{2010}}{b^2}\right)+\left(\frac{z^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{z^{2010}}{c^2}\right)+\left(\frac{t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{t^{2010}}{d^2}\right)=0\)

\(=>x^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{a^2}\right)+y^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{b^2}\right)+z^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{c^2}\right)+t^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{d^2}\right)=0\)

\(Do\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{a^2}\ne0\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{b^2}\ne0\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{c^2}\ne0\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{d^2}\ne0\end{matrix}\right.\)

\(=>\left\{\begin{matrix}x^{2010}=0\\y^{2010}=0\\z^{2010}=0\\t^{2010}=0\end{matrix}\right.\)

\(=>\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\\t=0\end{matrix}\right.\)

Ta có

\(T=x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}+t^{2011}\)

\(=>T=0^{2011}+0^{2011}+0^{2011}+0^{2011}\\ T=0+0+0+0\\ T=0\)

(x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)=
=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 <=>
x^2+y^2+z^2=x^2+(a^2/b^2)y^2+
+(a^2/c^2)z^2+(b^2/a^2)x^2+y^2+
+(b^2/c^2)z^2+(c^2/a^2)x^2+
+(c^2/b^2)y^2+z^2 <=>
[(b^2+c^2)/a^2]x^2+[(a^2+c^2)/b^2]y^2+
+[(a^2+b^2)/c^2]z^2 = 0 (*)
Đặt A=[(b^2+c^2)/a^2]x^2; B=[(a^2+c^2)/b^2]y^2;
và C=[(a^2+b^2)/c^2]z^2
Vì a,b,c khác 0 nên suy ra A,B,C đều không âm
Từ (*) ta có A+B+C=0
Tổng 3 số không âm bằng 0 thì cả 3 số đều phải bằng 0,tức A=B=C=0
Vì a,b,c khác 0 nên [(b^2+c^2)/c^2]>0 =>x^2=0 =>x=0
Tương tự B=C=0 =>y^2=z^2=0 => y=z=0
Vậy x^2011+y^2011+z^2011=0
Và x^2008+y^2008+z^2008=0.