Ta có : \(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{2}\)

=> Min P = 3/2 "=" khi a = b = c = 2

\(a\text{) }\)Áp dụng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (a, b > 0). Dấu "=" xảy ra khi a = b.

\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)

\(=6\left[\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{27}{8}\left(a+b\right)+\frac{27}{8}\left(a+b\right)\right]-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

\(\ge6.3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)^2}.\frac{27}{8}\left(a+b\right).\frac{27}{8}\left(a+b\right)}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

\(=\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{bc}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(b+c\right)\)

\(\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{ca}\ge\frac{81}{2}-\frac{81}{2}\left(c+a\right)\)

Cộng theo vế ta được 

\(A\ge3.\frac{81}{2}-81\left(a+b+c\right)=3.\frac{81}{2}-81=\frac{81}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)

Vậy GTNN của A là \(\frac{81}{2}.\)

\(\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}+\frac{2}{c+3}\le1\Leftrightarrow x+y+z\le1\)

\(Q=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{3}{y}-3\right)\left(\frac{2}{z}-2\right)=\frac{6\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}{xyz}\ge\frac{6\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{xyz}\ge6.2.2.2=48\)

Min Q = 48 khi  x =y=z = 1/3 => a =1 ; b =5; c =3

tao loa

Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)

Với a, b > 0, ta có: 

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.

Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi

\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.

\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)

\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)

\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)

BĐT svacxo là j vậy? Cho mk dạng tổng quát đc ko?