Lời giải:
a. Câu hỏi chưa rõ ràng

b. Vì số đo cung nhỏ AB bằng một nửa số đo cung lớn AB mà tổng số
 đo 2 cung bằng $360^0$ nên số đo cung nhỏ $AB$ là $120^0$

Từ $O$ kẻ $OH\perp AB$ như hình. Tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên đường cao $OH$ đồng thời là đường phân giác, trung tuyến.
Do đó: $\widehat{AOH}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}.120^0=60^0$

$\frac{AH}{AO}=\sin \widehat{AOH}=\sin 60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{3}}{2}AO=\frac{\sqrt{3}}{2}R$

$\Rightarrow AB=2AH=\sqrt{3}R$

Hình vẽ:

Lời giải:

Từ $O$ hạ $OH\perp AB$ thì $H$ là trung điểm của $AB$

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên đường cao, đường trung tuyến $OH$ đồng thời là đường phân giác.

$\Rightarrow \widehat{AOH}=60^0$

$\sin \widehat{AOH}=\frac{AH}{AO}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AH=AO.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$

$\Rightarrow AB=\sqrt{3}R$ (độ dài dây $AB$)

Diện tích tam giác $AOB$ là:

$\frac{1}{2}.OA.OB.\sin \widehat{AOB}=\frac{1}{2}R^2.\sin 120^0=\frac{\sqrt{3}}{4}R^2$

Hình vẽ:

Xét tam giác COD có:

OC=OD=CD=R

=> tam giác COD là tam giác đều

=> góc COD=60 độ (t/c tam giác đều)

Mà cung CD= góc COD= 60 độ ( góc COD là góc ở tâm chắn cung CD)

=> sđ cung CD= 60 độ

* Xét trường hợp điểm D gần điểm B 

=> D thuộc cung BC

=> sđ cung BC= sđ cung CD= sđ cung BD (1)

Ta lại có điểm C là điểm nằm chính giữa cung AB (gt)

=> sđ cung AC= sđ cung BC= sđ cung AB/2= 180 độ/2= 90 độ

Thay vào (1) ta có:

90 độ= 60 độ+ sđ cung BD

=> sđ cung BD= 90 độ - 60 độ= 30 độ

* Xét trường hợp điểm D nằm gần điểm A 

=> C thuộc cung BD

=> sđ cung BD= sđ cung BC+ sđ cung CD

=> sđ cung BD= 90 độ + 60 độ= 150 độ

Tham khảo ha:

https://hoidap247.com/cau-hoi/522596

\(Ta.có:\\ Sđ\stackrel\frown{AB}_{lớn}+Sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}=360^0\\ mà.Sđ\stackrel\frown{AB}_{lớn}=2Sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}\\ Sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}=Sđ\widehat{AOB}\\ nên.Sđ\stackrel\frown{AB}_{nhỏ}=120^0\\ Kẻ.OH\perp AB\Rightarrow\widehat{AOH}=60^0\\ \Rightarrow\Delta AOH.là.nửa.\Deltađều\\ \Rightarrow OH=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{R}{2}.và.AH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\) 

\(Vì.OH\perp AB.nên.AB=2AH=2.\dfrac{R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}\\ Vậy.S_{OAB}=\dfrac{1}{2}AB.OH=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}\)

Bổ sung