xet tam giác OBC có OB=OC=BC suy ra tam giác OBC đều suy ra CBA=60 độ

Áp dụng BĐT Cosi ta có \(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}.\frac{a^2+b^2}{4ab}}=1\)

Tương tự \(\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{4bc}\ge1\) \(\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\ge1\)

Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được

\(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\right)\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\left(\frac{a}{4b}+\frac{b}{4a}+\frac{b}{4c}+\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}+\frac{c}{4a}\right)\right)\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-\frac{a+c}{b}-\frac{b+c}{a}-\frac{c+a}{b}\right)\ge\frac{3}{4}\)(do \(a+b+c=1\))

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\) luôn đúng. Từ đó suy ba BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ta có:

\(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a\left(a+1\right)}{8}+\frac{a\left(b+1\right)}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{64\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{3a}{4}\)

\(\Rightarrow LHS+\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+2\left(a+b+c\right)}{8}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow LHS\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)

\(\ge\frac{a+b+c}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{4}\)

Có ý tưởng đến đây thôi nhưng lại bị ngược dấu rồi :(

BĐT <=> \(\frac{a\left(c+1\right)+b\left(a+1\right)+c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{abc+1+ab+bc+ac+a+c+b}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(4\left(ab+bc+ac+a+b+c\right)\ge3\left(ab+bc+ac+a+b+c+2\right)\)

<=> \(ab+bc+ac+a+b+c\ge6\)(1)

(1) luôn đúng do \(ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3;a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

=> BĐT được CM

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Biến đổi tương đương ta có : 

\(\frac{a}{\left(a+1\right).\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right).\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right).\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow4.a.\left(c+1\right)+4.b.\left(a+1\right)+4.c.\left(b+1\right)\ge3.\left(a+1\right).\left(b+1\right).\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4.\left(a+b+c\right)+4.\left(ab+bc+ac\right)\ge3.a.b.c+3.\left(a+b+c\right)+3.\left(ab+bc+ca\right)+3\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\ge6\)

Sử dụng thêm bất đẳng thức Cauchy 3 số ta có : 

a+b+c \(\ge\)3.\(\sqrt[3]{abc}\)và ab + bc + ca \(\ge3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b= c =1

Mình áp dụng BĐT AM-GM  đến dòng 

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b\ge6\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương ta được

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[2]{\left(abc\right)^2}=3;a+b+c\ge3\sqrt[2]{abc}=3\)

Cộng từng vế  BĐT ta được (1). Do vậy BĐT ban đầu được chứng minh

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

Biến đối tương đương ta có:

\(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow4a\left(c+1\right)+4b\left(a+1\right)+4c\left(b+1\right)\ge3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(a+b+c\right)+4\left(ab+bc+ca\right)\ge3abc+3\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)+3\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\ge6\)

Sử dụng thêm BĐT Cauchy 3 số ta có:

\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\\ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\end{cases}}\)

Vậy BĐT đã được chứng minh. Dấu "=" <=> a=b=c=1

Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)

Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Bunyakovsky dạng phân thức

Theo bất đẳng thức Svacxo :

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh