Bài làm:

PT:

đkxđ: \(x\ne0;x\ne2\)

Ta có: \(\frac{x+2}{x-2}=\frac{2}{x^2-2x}+\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x+2\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{2}{x\left(x-2\right)}+\frac{x-2}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Rightarrow x^2+2x=2+x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(vl\right)\\x+1=0\end{cases}}\Rightarrow x=-1\)

BPT:

Ta có: \(\frac{x+1}{2}-x\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{2}-x-\frac{1}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1-2x-1}{2}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-x}{2}\le0\)

\(\Rightarrow-x\le0\)

\(\Rightarrow x\ge0\)

a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne2\end{cases}}\)

\(\frac{x+2}{x-2}=\frac{2}{x^2-2x}+\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x\left(x-2\right)}+\frac{1}{x}-\frac{x+2}{x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2+x-2-x^2-2x}{x\left(x-2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow-x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(ktm\right)\\x=-1\left(tm\right)\end{cases}}}\)

Vậy \(S=\left\{-1\right\}\)

b) \(\frac{x+1}{2}-x\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x+1-2x-1\le0\)

\(\Leftrightarrow-x\le0\)

\(\Leftrightarrow x\ge0\)

Vậy \(x\ge0\)

ĐKXĐ : \(x\ne0;2\)

\(\frac{x+2}{x-2}=\frac{2}{x^2-2x}+\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(x+2\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{2}{x\left(x-2\right)}+\frac{x-2}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x=2+x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(ktm\right)\\x=-1\left(tm\right)\end{cases}}\)

Ta gọi : a là \(x^2-x\)

                 Thay vào phương trình ta có : \(\frac{a}{a+1}\)+   \(\frac{a+2}{a-2}\)= 1

                                                    \(\Rightarrow\frac{a^2-2a+a^2+3a+2}{\left(a+1\right)\left(a-2\right)}\)= 1

                                                    \(\Rightarrow2a^2+a+2=a^2-a-2\)

                                                     \(\Rightarrow a^2+2a+4=0\)XÉT TAM THỨC BẬC HAI \(\Delta=2^2-4.4=-12< 0\)

                                                      Vậy phương trình vô nghiệm

Điều kiện: x khác 0

Đặt \(\frac{x^2+1}{x}=t\Rightarrow\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{t}\)

Khi đó: \(\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2+1}=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{t^2+1}{t}=\frac{5}{2}\Rightarrow2t^2+2=5t\)

\(\Leftrightarrow2t^2-5t+2=0\Leftrightarrow\left(2t-1\right)\left(t-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{1}{2}\\t=2\end{cases}}\)

Nếu \(t=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow2x^2+2=x\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x+2=0\)

Mà \(2x^2-x+2=2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{8}>0\forall x\)

Nên \(x\in\varnothing\)

Nếu \(t=2\Rightarrow\frac{x^2+1}{x}=2\Rightarrow x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\)(thỏa mãn ĐKXĐ)

Tập nghiệm của pt: \(S=\left\{1\right\}\)

\(\)

Theo BĐT AM-GM,ta có: \(x^2+1\ge2\left|x\right|\ge2x\Rightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2\)

Đặt \(\frac{x^2+t}{x}=t\left(t\ge2\right)\).Bài toán trở thành:

\(t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{t}+\frac{t}{4}\right)+\frac{3t}{4}=\frac{5}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT\ge1+\frac{3t}{4}\ge1+\frac{6}{4}=\frac{5}{2}\)

Mà \(VT=\frac{5}{2}\) .Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{t}=\frac{t}{4}\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=2\Leftrightarrow x^2+1=2x\Leftrightarrow x=1\)

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình: \(S=\left\{1\right\}\)

Ai ngờ bài này có cách khác chính là dùng cách chứng minh của BĐT AM-GM cho hai số  chứ! -_-"

Bắt đầu từ chỗ: \(t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\) (\(t\ge2\))

Có \(\left(\sqrt{\frac{1}{t}}-\sqrt{\frac{t}{4}}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{t}+\frac{t}{4}\ge2.\frac{1}{2}=1\)

Suy ra \(t+\frac{1}{t}=\left(\frac{1}{t}+\frac{t}{4}\right)+\frac{3t}{4}\ge1+\frac{3t}{4}\ge1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}=VP\)

Dấu bằng xảy ra khi t = 2 tức là \(x^2+1=2x\Leftrightarrow x=1\)

Vậy ....

\(\text{GIẢI :}\)

ĐKXĐ : \(x\ne1,\text{ }x\ne-2\).

\(\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+2}=\frac{x^2-x}{x-1}+\left(\text{-}x\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+2}=\frac{x\left(x-1\right)}{x-1}+\left(\text{-}x\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+2}=x+\left(\text{-}x\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}+\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}=0\)

\(\Rightarrow2\left(x+2\right)+\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x+4+x-1\)

\(\Leftrightarrow3x+3=0\)

\(\Leftrightarrow3x=\text{-3}\Leftrightarrow x=\text{-1}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{-1\right\}\).

\(\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+2}=\frac{x^2-x}{x-1}+\left(-x\right)\left(đk:x\ne1;-2\right)\)

\(\frac{2\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}+\frac{\left(x-1\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=\frac{x\left(x-1\right)}{x-1}-x\)

\(< =>\frac{2x+4+x-1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}=x-x=0\)

\(< =>2x+4+x-1=0\)

\(< =>3x=1-4=-3\)

\(< =>x=\frac{-3}{3}=-1\left(tmđk\right)\)

Vậy nghiệm của phương trình trên là \(\left\{-1\right\}\)

Mày nhìn cái chóa j

Theo bài ra , ta có : 

\(\frac{x+2}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{2}{x\left(x-2\right)}\)\(\left(ĐKXĐ:x\ne0;x\ne2\right)\)

Quy đồng và khử mẫu ta được 

\(x\left(x+2\right)-\left(x-2\right)=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-x+2=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy S={0;-1} 

Chúc bạn học tốt =))

Cho mik sửa một chút nè 

x = 1 ( Ko TMĐKXĐ ) (loại) 

Vậy S={-1}

ĐK: x \(\ne\)-1; x \(\ne\)2

\(\frac{x+2}{x+1}+\frac{3}{x-2}=\frac{3}{x^2-x-2}+1\)

<=> \(\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}+\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\)

<=>  x² - 4 + 3x + 3 = 3 + x² - x - 2

<=> x² + 3x - x² + x = 1 + 1

<=> 4x = 2

<=> x = 1/2

Vậy S = {1/2}

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ne-1\\x\ne2\end{cases}}\)

\(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2-x}=\frac{3x-11}{x^2-x-2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-2}-\frac{3x-11}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-2\right)-\left(x+1\right)-\left(3x-11\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow2x-4-x-1-3x+11=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+6=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{3\right\}\)

- Các bạn bỏ giùm mình số 2 cuối nhé. Chỉ có 1 số 2 thôi.

\(\frac{x+2}{x+1}-\frac{3}{2-x}=\frac{-3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}+2\)(1)

ĐKXĐ : \(x\ne-1;x\ne\pm2\)

Quy đồng và khử mẫu phương trình (1) , ta được :

\(\left(x+2\right)\left(2-x\right)\left(x-2\right)-3\left(x+1\right)\left(x-2\right)=-3\left(2-x\right)+2\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(2-x\right)\)

\(\Leftrightarrow-\left(x+2\right)\left(x-2\right)^2-3\left(x^2-x-2\right)=-6+3x-2\left(x+1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow-\left(x-2\right)\left(x^2-4\right)-3x^2+3x+6=-6+3x-2\left(x^3-3x^2+4\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^3+2x^2+4x-8-3x^2+3x+6=-6+3x-2x^3+6x^2-8\)

\(\Leftrightarrow-x^3-x^2+7x-2+6-3x+2x^3-6x^2+8=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-7x^2+4x+12=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-2x^2-5x^2+10x-6x+12=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-2\right)-5x\left(x-2\right)-6\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+x-6x-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x\left(x+1\right)-6\left(x+1\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-6\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)(loại) ; \(x=6\)(chọn ) ; \(x=-1\)(loại).

Vậy S={6}.