a, Số dư luôn <3

gọi d là ƯC(2n + 1; 4n + 1)

=> 2n + 1 chia hết cho d và 4n + 1 chia hết cho d

=> 4n + 2 chia hết cho d và 4n + 1  chia hết cho d

=> 4n + 2 - 4n - 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> 2n + 1 và 4n + 1 là 2 snt cùng cùng nhau

Nếu n là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n=3k+1 hoặc n=3k+2

Trường hợp 1) Nếu n=3k+1 thì 2n+1=2.(3k+1)+1=2.3k+2+1=6k+3 mà 6k+3 chia hết cho 3 nên 2n+1 là hợp số. Suy ra: n khác 3k+1.

Trường hợp 2) Nếu n=3k+2 thì 2n+1=2.(3k+2)+1=2.3k+2.2+1=6k+4+1=6k+5 không chia hết cho số nào cả ngoại trừ 1 và 6k+5 nên 2n+1 là số nguyên tố nên n=3k+2.

Ta có:4n+1=4.(3n+2)+1=4.3n+4.2+1=12n+8+1=12n+9 chia hết cho 1;3;12n+9 nên 4n +1 là hợp số. 

a: \(\Leftrightarrow2n+1\in\left\{1;3;9\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;1;4\right\}\)

\(a,\Leftrightarrow10n+14⋮2n+1\\ \Leftrightarrow5\left(2n+1\right)+9⋮2n+1\\ \Leftrightarrow2n+1\inƯ\left(9\right)=\left\{1;3;9\right\}\\ \Leftrightarrow n\in\left\{0;1;4\right\}\)

Đặt \(\left(2n+1,4n+3\right)=d\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\4n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(4n+3\right)-2\left(2n+1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Do đó ta có đpcm. 

e có 2 chia hết cho d; 2n+3 lẻ nên (2n+3,4n+8)=1

còn n+1-n=1 nên (n,n+1)=1

Xột số   A = (2ⁿ – 1)2ⁿ(2ⁿ + 1)

A là tích của 3 số tự nhiên liờn tiệp nên A   ⋮   3  

Mặt khỏc 2ⁿ – 1 là số nguyên tố   ( theo giả thiết )

                2ⁿ  không chia hết cho 3

Vậy 2ⁿ + 1 phải chia hết cho 3 ⇒  2ⁿ + 1 là hợp số.