Học hành thế này! Tớ mách cô Hiền nhé!

\(1.\)

Theo đề ra, ta có:

\(ax+by=c\)

\(bx+cy=a\Leftrightarrow ax+by+bx+cy+cx+ay=c+a+b\)

\(cx+by=b\)

\(\Leftrightarrow x\left(a+b+c\right)+y\left(a+b+c\right)=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(a+b+c\right)=0\)

Ta có: \(x,y\)thỏa mãn \(\Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow a+b=\left(-c\right)\)

Khi đó ta có:

\(a^3+b^3+c^3=a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3=\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)+c^3=3abc\)\(\left(đpcm\right)\)

Đặt: \(\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}=G\)

\(\Rightarrow G=\frac{cay-cbx}{c^2}=\frac{bcx-baz}{b^2}=\frac{abz-acy}{a^2}\)

\(\Rightarrow G=\frac{cay-cbx+bcx-baz+abz-acy}{c^2+b^2+a^2}\)

\(\Rightarrow G=0\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=\left(cx-az\right)^2=\left(bz-cy\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

Lời giải:

Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k^3\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{k^3}{x^3}\\ b=\frac{k^3}{y^3}\\ c=\frac{k^3}{z^3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{a}=\frac{k}{x}\\ \sqrt[3]{b}=\frac{k}{y}\\ \sqrt[3]{c}=\frac{k}{z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=k(*)\)

Mặt khác theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(k^3=ax^3=by^3=cz^3=\frac{ax^2}{\frac{1}{x}}=\frac{by^2}{\frac{1}{y}}=\frac{cz^2}{\frac{1}{z}}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)

\(\Rightarrow k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}(**)\)

Từ $(*)$ và $(**)$ ta có đpcm.

Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k\).

Khi đó ta có:

\(VT=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\dfrac{k}{x}+\dfrac{k}{y}+\dfrac{k}{z}}=\sqrt[3]{k\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\).

\(VP=\sqrt[3]{\dfrac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{z^3}}=\sqrt[3]{k}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\sqrt[3]{k}\).

Từ đó ta có đpcm.

Ta có: ax³ = \(\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}\)

Tương tự ta có: ax³ = by³ = cz³ 

hay \(\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\) = ax² + by² + cz² (T/c dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\) \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)

= \(\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)  (đpcm)

Chúc bn học tốt!

Bài này hình như có lần làm rồi :))

Đặt `ax^3=by^3=cz^3=k^3`

`=>a=k^3/x^3,b=k^3/y^3,c=k^3/z^3`

`=>root{3}{a}+root{3}{b}+root{3}{c}=k/x+k/y+k/z=k(1/x+1/y+1/z)=k(1)`

`**:ax^2+by^2+cz^2=(ax^3)/x+(by^3)/y+(cz^3)/z=k^3/x+k^3/y+k^3/z=k^3(1/x+1/y+1/z)=k^3`

`=>root{3}{ax^2+by^2+cz^2}=k(2)`

`(1)(2)=>ĐPCM`

đây là BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki mà. chỉ cần nhân ra r đưa về hằng đẳng thức là đc

giai ho minh di

Dành cho các bạn chuyên toán nè? | Yahoo Hỏi & Đáp

Theo BĐT Bunhia ta có  (a^2+b^2+c^2) (x^2+y^2+z^2) >_ (ax + by + cz)^2 a/x = b/y + c/z

suy ra a/x=b/y=c/z

bạn có thể cm HỘ MÌNH bdt bUNHIA ĐC KO AK