Ta thấy:      |x-10| >= 0      (1);          |x-10| >= 0        (2)

Cộng 2 bđt cùng chiều (1) và (2) ta được:   |x-10| + |x-10| >= 0    <=>  A= |x-10| + |x-10| -2 >= -2

=> minA = -2  

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=10 và y=-100

 Chắc v!! =)))

Nhóm các số vào để tạo hằng đẳng thức đi!

Lời giải:

Ta thấy: $x^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $x^2+9+2019\geq 9+2019=2028$

$\Rightarrow A=\sqrt{x^2+9+2019}\geq \sqrt{2028}$

Vậy GTNN của $A$ là $\sqrt{2028}$ khi $x=0$

TXĐ: D=[-2,2]

P'=\(1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\)

P'=0<=> \(1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=0\)=>\(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{4-x^2}\\4-x^2>0\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x^2=4-x^2\\x\ge0\\-2< x< 2\end{cases}}\)

=> \(x=\sqrt{2}\)

P(-2)=-2

\(P\left(\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\)

P(2)=2

Vậy GTLN của P=\(2\sqrt{2}\),GTNN là -2

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(\sqrt{3x\left(2x+y\right)}+\sqrt{3y\left(2y+x\right)}\le\frac{3x+2x+y}{2}+\frac{3y+2y+x}{2}=\frac{6\left(x+y\right)}{2}=3\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y}{3\left(x+y\right)}=\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y

a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:

\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)

Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó

Is it true?

\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)

\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)

\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Ta có : 

\(\frac{2x-5}{x}=\frac{2x}{x}-\frac{5}{x}=2-\frac{5}{x}\)

Để M có GTNN thì \(\frac{5}{x}\) phải có GTLN hay \(x>0\)  và có GTNN

\(\Rightarrow\)\(x=1\)

\(\Rightarrow\)\(M=\frac{2x-5}{x}=\frac{2.1-5}{1}=\frac{-3}{1}=-3\)

Vậy \(M_{min}=-3\) khi \(x=1\)