Từ đề bài ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) ( T/c tỉ lệ thức )

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b}{c+d}\)

Và \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Leftrightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^{2003}=\left(\frac{b}{d}\right)^{2003}\Leftrightarrow\frac{a^{2003}}{c^{2003}}=\frac{b^{2003}}{d^{2003}}\)

Áp dụng t/x dãy tỉ số bằng nhau ta có : \(\frac{a^{2003}}{c^{2003}}=\frac{b^{2003}}{d^{2003}}=\frac{a^{2003}+b^{2003}}{c^{2003}+d^{2003}}\left(1\right)\)

Mà \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a^{2003}}{c^{2003}}=\frac{b^{2003}}{d^{2003}}=\frac{\left(a-b\right)^{2003}}{\left(c-d\right)^{2003}}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^{2003}}{\left(c-d\right)^{2003}}=\frac{a^{2003}+b^{2003}}{c^{2003}+d^{2003}}\left(đpcm\right)\)

Cần gấp không vậy bạn

Chiều mai mình nộp ạ

Câu 4 dùng tỉ lệ thức là ra bạn à

BĐT ĐÚNG K BN

chac dung

Ta có: \(a^2+b^2-ab\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^3+20b^3\ge19b^3+ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow20b^3-ab\left(a+b\right)\)\(\ge19b^3-a^3\)

\(\Leftrightarrow b\left(20b^2-ab-a^2\right)\ge19b^3-a^3\)\(\Leftrightarrow b\left(20b^2-5ab+4ab-a^2\right)\ge19b^3-a^3\)

\(\Leftrightarrow b\left[5b\left(4b-a\right)+a\left(4b-a\right)\right]\ge19b^3-a^3\)

\(\Leftrightarrow b\left(5b+a\right)\left(4b-a\right)\ge19b^3-a^3\)\(\Leftrightarrow\left(5b^2+ab\right)\left(4b-a\right)\ge19b^3-a^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\le4b-a\)

Tương tự ta có: \(\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}\le4c-b;\)\(\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4a-c\)

Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được: 

\(\text{​​}\text{​​}\text{Σ}_{cyc}\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\le4\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=3\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

a. \(\frac{x-15}{2000}+\frac{x-14}{2001}+\frac{x-13}{2003}=\frac{x-12}{2003}+2\)

\(\rightarrow\frac{x}{2000}-\frac{15}{2000}+\frac{x}{2001}-\frac{14}{2001}+\frac{x}{2003}-\frac{13}{2003}=\frac{x}{2003}-\frac{12}{2003}+2\)

\(\rightarrow x.\left(\frac{1}{2000}+\frac{1}{2001}\right)=\frac{15}{2000}+\frac{14}{2001}+\frac{13}{2003}-\frac{12}{2003}+2\)

\(\rightarrow x=2015,5\)

b. \(\left(x^2-6x+11\right)\left(y^2+2y+4\right)=2+4z-z^2\)

\(\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+11=\left(x-3\right)^2+2\ge2\\y^2+2y+4=\left(y+1\right)^2+3\ge3\\2+4z-z^2=-\left(z-2\right)^2+6\le6\end{matrix}\right.\)

\(\rightarrow\left(x^2-6x+11\right)\left(y^2+2y+4\right)\ge6\)

\(\rightarrow\left(x^2-6x+11\right)\left(y^2+2y+4\right)=2+4z-z^2\)

\(\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\\z=2\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\frac{a}{2003}\) = \(\frac{b}{2004}\) = \(\frac{c}{2005}\) = k

=> a = 2003k; b = 2004k và c = 2005k

Xét hiệu:

4(a - b)(b - c) - (c - a)²

= 4(2003k - 2004k)(2004k - 2005k) - (2005k - 2003k)²

= 4(-k)(-k) - (2k)²

= 4k² - 2².k²

= 4k² - 4k² = 0

Do đó 4(a - b)(b - c) = (c - a)².

Bạn học trường nào vậy Mk thay cai bài này la cua huyện mk nên hỏi vây thôi

Đặt \(\frac{a}{2003}=\frac{b}{2005}=\frac{c}{2007}=k\)\(\Rightarrow a=2003k;b=2005k;c=2007k\)

\(\Rightarrow VT=\frac{\left(a-c\right)^2}{4}=\frac{\left(2003k-2007k\right)^2}{4}=\frac{\left(-4k\right)^2}{4}=\frac{16k^2}{4}=4k^2\left(1\right)\)

\(VP=\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(2003k-2005k\right)\left(2005k-2007k\right)\)

\(=\left(-2k\right)\cdot\left(-2k\right)=4k^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ->Đpcm