Chứng minh

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Trong \(\Delta\)AOB có:

AB < AO + OB ₍₁₎

Trong \(\Delta\)OCD có:

CD < CO + OD ₍₂₎

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:

AB + CD < (AO + OC) + (BO + OD)

hay AB + CD < AC + BD ₍₃₎

mà AB + BD \(\le\) AC + CD ₍₄₎

Từ (3) và (4) suy ra AB < AC

Giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Trong \(\Delta\)AOB có: AB < AO + OB (1)

Trong \(\Delta\)OCD có: CD < CO + OD (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:

AB + CD < (AO + OC) + (BO + OD)

hay AB + CD < AC + BC (3)

mà AB + BD \(\le\) AC + CD (4)

Từ (3) và (4) suy ra AB < AC

Ta có tứ giác ABCD bất kì.

Mà \(AB+BD\) \(\text{< AC}\)\(+CD\) \(\left(gt\right)\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABD\) có:

\(BD< AB+AD\) (trong tam giác thì tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba)

Suy ra: \(AB+BD\) \(\text{< AB}< AB\)\(+AD+AB \) (cộng AB cho cả 2 vế)

\(AB+BD \)\(\text{< 2AB}\)\(+AD\left(2\right)\)

Xét \(\Delta ACD\) có:

\(\text{CD < AD+AC }\)

Suy ra: \(AC+CD\) \(< AD+AC+AC \)

\(AC+CD \)\(< 2AC+AD\left(3\right)\)

Thay \(\left(2\right),\left(3\right)\) vào \(\left(1\right)\) ta có:

2AB+AD < 2AC+AD

\(\Leftrightarrow2AB< 2AC\)

\(\Leftrightarrow AB< AC\left(đpcm\right)\)

-Bài hình chẳng ai phụ trách giùm mình hết :v (đặc biệt là hình nâng cao).

-Mình cũng xin lỗi vi tối mới làm đc cho bạn nhé.

-Gọi E là giao của AD và BC.

\(\widehat{BAE}=180^0-\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\)

\(\Rightarrow\)△ABE∼△CDE (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{BE}{DE}\Rightarrow\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{CE}{DE}\Rightarrow\)△EAC∼△EBD (c-g-c).

\(\Rightarrow\widehat{ICB}=\widehat{IDA}\Rightarrow\)△IBC∼△IAD (g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{IB}{IA}=\dfrac{IC}{ID}\Rightarrow\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{IA}{ID}\Rightarrow\)△AIB∼△DIC (c-g-c)

\(\Rightarrow\widehat{IAM}=\widehat{IDN};\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{AB}{DC}\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{MA}{ND}\Rightarrow\dfrac{IA}{MA}=\dfrac{ID}{ND}\)

\(\Rightarrow\)△AIM∼△DIN (c-g-c) \(\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{DIN}\)