Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AN. Đường vuông góc với AN tại N cắt AM , AB tại Q, P. Đưởng vuông góc với AB tại P cắt AN tại K. Chứng minh KQ vuông góc BC.
Các bạn giúp mình với!!!
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, phân giác AN. Từ N vẽ đường thẳng vuông góc với AN cắt AB, AM tại hai điểm P và Q. Từ Q vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AN tại O. Chứng minh rằng QO vuông góc BC.
Cho tam giác ABC . Trung tuyến AM, phân giác AN . Từ N vẽ đường thẳng vuông góc AN cắt AB, AM tại 2 điểm P và Q . Từ Q vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AN tại O . Chứng minh rằng QO vuông góc BC
a) Qua P vé đường thẳng song song với BC cắt AM,AN, AC lần lượt tại I;K;E.
Gọi H là giao của PN và AC
Chứng minh I là trung điểm PE
\(\Delta\)APH cân tại A. IN là đường trung bình \(\Delta\)PEH
Tứ giác IECN là hình bình hành. Vì vậy NC=IE=PI
Ta có: \(\frac{NQ}{PQ}=\frac{MN}{PI}=\frac{MN}{NC}=\frac{MI}{AI}=\frac{NK}{AK}\)
=> QK//AP
Nên KQ _|_ OP. \(\Delta\)OPK có PN,KQ là 2 đường chéo cắt nhau tại Q
Do vậy có: QO_|_ PK. Vậy QO _|_ BC (đpcm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=4,5cm, AC=6cm , trung tuyến AM. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt tia AM tại N . a) Tính độ dài cạnh BC b) Chứng minh AN=2AM c) Phân giác của góc BAC cắt BC tại D . Chứng minh D nằm giữa B và M.
Các bạn chỉ cần làm câu c thôi nhé
a: Ta có: ΔABC vuông tại A
=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)
=>\(BC^2=4,5^2+6^2=56,25\)
=>\(BC=\sqrt{56,25}=7,5\left(cm\right)\)
b: CN\(\perp\)CA
AB\(\perp\)CA
Do đó: CN//AB
Xét ΔMCN và ΔMBA có
\(\widehat{MCN}=\widehat{MBA}\)(hai góc so le trong, CN//AB)
CM=BM
\(\widehat{CMN}=\widehat{BMA}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔMCN=ΔMBA
=>MN=MA
=>M là trung điểm của AN
=>AN=2AM
c: Xét ΔABC có AD là phân giác
nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)
=>\(\dfrac{BD}{4,5}=\dfrac{CD}{6}\)
mà BD+CD=BC=7,5
nên \(\dfrac{BD}{4,5}=\dfrac{CD}{6}=\dfrac{BD+CD}{4,5+6}=\dfrac{7.5}{10.5}=\dfrac{5}{7}\)
=>\(BD=5\cdot\dfrac{4.5}{7}=\dfrac{22.5}{7}=\dfrac{45}{14}\left(cm\right)\)
Vì ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến
nên \(BM=CM=\dfrac{BC}{2}=3,75\left(cm\right)\)
Vì \(BD=\dfrac{45}{14}< \dfrac{52.5}{14}=BM\)
nên D nằm giữa B và M
cho tam giác abc vuông tại a có ab= 4.5, ac= 6 trung tuyến am đướng thẳng vuông góc với ac cắt tia am tại n chứng minh an= 2am và phân giác của góc bac cắt bc tại d chứng minh d nằm giữa b và h
Bài toán 1. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, phân giác AN. Từ N vẽ đường thẳng vuông góc với AN cắt AB, AM tại hai điểm P và Q. Từ Q vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AN tại O. Chứng minh rằng QO\(\perp\)BC
Bài toán 2. Cho\(\Delta\)ABC. Trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại I thỏa mãn IB = IC. Từ A kẻ AH\(\perp\)BC. Chứng minh rằng IM = IH.
Bài toán 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, G là điểm trên cạnh AB sao cho GB = 2GA. Các đường thẳng GM và CA cắt nhau tại D. Đường thẳng qua M vuông góc với CG tại E và cắt AC tại K. Gọi P là giao điểm của DE và GK.Chứng minh rằng:
a. DE = BC
b. PG = PE
Bài toán 1: (Hình a)
Gọi đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt AC tại R, qua P kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt AM,AN,BC lần lượt tại S,T,K.
Ta thấy \(\Delta\)APR có AN vừa là đường cao, đường phân giác => \(\Delta\)APR cân tại A => AP = AR, NP = NR
Áp dụng hệ quả ĐL Thales \(\frac{BM}{PS}=\frac{CM}{KS}\left(=\frac{AM}{AS}\right)\)=> PS = KS
Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{TK}{TP}=\frac{AK}{AP}\Rightarrow\frac{ST+SK}{TP}=\frac{AK}{AR}\)
\(\Rightarrow\frac{2ST+PT}{TP}=\frac{AR+RK}{AR}\Rightarrow\frac{2ST}{TP}=\frac{RK}{AR}\)
Dễ thấy NS là đường trung bình của \(\Delta\)RKP => RK = 2NS. Do đó \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}\)
Đồng thời NS // AR, suy ra \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}=\frac{SQ}{QA}\)=> QT // AP (ĐL Thaels đảo)
Mà AP vuông góc PO nên QT vuông góc PO. Từ đây suy ra T là trực tâm của \(\Delta\)POQ
=> QO vuông góc PT. Lại có PT // BC nên QO vuông góc BC (đpcm).
Bài toán 2: (Hình b)
Ta có IB = IC => \(\Delta\)BIC cân tại I => ^IBC = ^ICB = ^ACB/2 => \(\Delta\)MCI ~ \(\Delta\)MBC (g.g)
=> MC2 = MI.MB. Xét \(\Delta\)AHC có ^AHC = 900 , trung tuyến HM => HM = MC
Do đó MH2 = MI.MB => \(\Delta\)MIH ~ \(\Delta\)MHB (c.g.c) => ^MHI = ^MBH = ^MBC = ^MCI
=> Tứ giác CHIM nội tiếp. Mà CI là phân giác ^MCH nên (IH = (IM hay IM = IH (đpcm).
Bài toán 3: (Hình c)
a) Gọi đường thẳng qua C vuông góc CB cắt MK tại F, DE cắt BC tại Q, CG cắt BD tại I.
Áp dụng ĐL Melelaus:\(\frac{MB}{MC}.\frac{GA}{GB}.\frac{DC}{DA}=1\)suy ra \(\frac{DC}{DA}=2\)=> A là trung điểm DC
Khi đó G là trọng tâm của \(\Delta\)BCD. Do CG cắt BD tại I nên I là trung điểm BD
Dễ thấy \(\Delta\)BCD vuông cân tại B => BI = CM (=BC/2). Từ đó \(\Delta\)IBC = \(\Delta\)MCF (g.c.g)
=> CB = CF => \(\Delta\)BCF vuông cân ở C => ^CBA = ^CBF (=450) => B,A,F thẳng hàng
=> CA vuông góc GF. Từ đó K là trực tâm của \(\Delta\)CGF => GK vuông góc CF => GK // CM
Theo bổ đề hình thang thì P,Q lần lượt là trung điểm GK,CM. Kết hợp \(\Delta\)CEM vuông ở E
=> EQ=CM/2. Áp dụng ĐL Melelaus có \(\frac{GD}{GM}.\frac{EQ}{ED}.\frac{CM}{CQ}=1\)=> \(\frac{EQ}{ED}=\frac{1}{4}\)
=> \(\frac{ED}{CM}=2\)=> DE = 2CM = BC (đpcm).
b) Theo câu a thì EQ là trung tuyến của \(\Delta\)CEM vuông tại E => EQ = QC => ^QEC = ^QCE
Vì vậy ^PEG = ^QEC = ^QCE = ^PGE => \(\Delta\)EPG cân tại P => PG = PE (đpcm).
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường trung tuyến AM và phân giác trong AD. Qua điểm D kẻ đường thẳng vuông góc với AD, đường thẳng này cắt AB và AM lần lượt tại P và Q. Từ P kẻ 1 đường thẳng vuông góc với AB cắt tia AD ở điểm K.
CMR: KQ vuông góc với BC ?
Cho tam giác ABC có AB=AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M và trên tia đối của CB lấy điểm N sao cho BM=CN.
a) Chứng minh AM=AN
b) Kẻ BE vuông góc với AM, CF vuông góc với AN (E thuộc AM, F thuốc AN). Chứng minh tam giác BME= tam giác CNF
c) EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là phân giác của góc MAN.
d) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN, chúng cắt nhau tại H. Chứng minh 3 điểm A,O,H thẳng hàng
a)ta có AB=AC
=)TAM giác ABC cân tại A
=)Góc B2=góc C1
Lại có B1+B2=180độ(kề bù)
C1+C2=180độ(kề bù)
mà B2=C1(cmt)
=)B1=C2
Xét tam giác ABM và tam giác ACN có
BM=CN(GT)
B1=C2(CMT)
AB=AC(GT)
=)TAM giác ABM = tam giác ACN (c-g-c)
=)AM=AN(2 cạnh tương ứng )
bạn tự viết kí hiệu nhá mik ko bít cách viết
b)ta có tam giác ABM=tam giác ACN (cmt)
=)góc M=góc N (2 góc tương ứng)
xét tam giác vuông BME và tam giác vuông CNF có
BM=CN(gt)
góc M=GÓC N(cmt)
=)tam giác vuông BME=tam giác vuông CNF (cạnh huyền-góc nhọn)
c)gọi H là giao điểm của BC và AO
xét tam giác BHA và tam giac CHA
AH chung
AB=AC(GT)
B2=C1(CMT)
=)TAM GIÁC BHA=tam giác CHA(c-g-c)
=)HC=HB(2 cạnh tương ứng)
Mà tam giác ABC cân tại A (cmt)
=)AH hay AO là tia phân giác của GÓC BAC (trong tam giác cân đường trung tuyến là đường phân giác)
Lại có tam giác ABM=tam giác ACM (cmt)
=)góc A1 = GÓC A4
có A2=A3 ( AO là phân giác của góc BAC)
=)A1+A2=A3+A4
=) AO là tia phân giác góc MAN
Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC. Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BN = BA, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Tia phân giác góc ABC cắt AM tại I và cắt AN tại D, tia phân giác góc ACB cắt AN tại K và AM tại E. Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:
a. BD vuông góc với AN, CE vuông góc với AM
b. BD song song với MK
c. IK = OA
cho tam giác ABC vuông tại A có AN là đường trung tuyến . kẻ MN vuông góc với AB tại MNP vuông góc với AC tại P a) chứng minh tứ giác AMNP là hcn b)tứ giác ANCE là hình gì ?vì sao?c) ME cắt AN tại I , cắt AC tại Q . c/m 3IQ nhỏ hơn NC