a, \(A=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\)

\(=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{50^2}< \frac{1}{49.50}\)

\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)

\(\Rightarrow1< 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)

Mà \(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}=1+1-\frac{1}{50}=2-\frac{1}{50}< 2\)

\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}< 2\Rightarrow A< 2\left(đpcm\right)\)

b, B = 2 + 2² + 2³ +...+ 2³⁰

= (2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶)+...+(2²⁵+2²⁶+2²⁷+2²⁸+2²⁹+2³⁰)

= 2(1+2+2²+2³+2⁴+2⁵)+...+2²⁵(1+2+2²+2³+2⁴+2⁵)

= 2.63+...+2²⁵.63

= 63(2+...+2²⁵)

Vì 63 chia hết cho 21 nên 63(2+...+2²⁵) chia hết cho 21 

Vậy B chia hết cho 21

Cảm ơn bn nhìu nha !!! 

1 

Ez lắm =)

Bài 1:

Với mọi gt \(x,y\in Q\) ta luôn có: 

\(x\le\left|x\right|\) và \(-x\le\left|x\right|\) 

\(y\le\left|y\right|\) và \(-y\le\left|y\right|\Rightarrow x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\) và \(-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Hay: \(x+y\ge-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)

Do đó: \(-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\le x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Vậy: \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(xy\ge0\)

Bài 3: 

Ta có: \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\) (vì a + b + c = 1)

Do đó: \(\left(x+y+z\right)^2=\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) (vì a² + b² + c² = 1)

Vậy: (x + y + z)² = x² + y² + z²

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

b, 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2³⁰

= ( 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2^{5 +} 2⁶ ) + ( 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰ + 2¹¹ + 2¹² ) + ... + ( 2²⁵ + 2²⁶ + 2²⁷ + 2²⁸ + 2²⁹ + 2³⁰ )

= 2¹ . ( 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ ) + 2⁷ . ( 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ ) + ... + 2²⁵ . (  2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵  )

= 2 . 63 + 2⁷ . 63 + ... + 2²⁵ . 63

= 63 . ( 2 + 2⁷ + ... + 2²⁵ )

= 21 . 3 . (  2 + 2⁷ + ... + 2²⁵ ) \(⋮\)21

tớ chỉ giải phần a thôi nhé

ta có:1/2² < 1/1+2

        1/3² < 1/2+3

        .......

        1/50²<1/49+50

gọi biểu thức trên là A

Ta có : A<1/1+2 +1/2+3 +.....+1/49+50

         A<1-1/2+1/2-1/3 +......+1/49-1/50

         A<1-1/50 mà 1-1/50<2 nên A<2

 nghĩa là biểu thức trên nhỏ hơn hai

a) Đặt B= 1/2*3 + 1/3*4 + 1/49*50

           B= 1- 1/50 => B<1

Ta có A= 1/1² + 1/2² + 1/3² +...+ 1/50²

          A= 1+ 1/2*2 +1/3*3 +....+ 1/50*50

Mà A<B ( 1/50*50 < 1/49*50)

Nên A<B<1<2

Vậy A<2

CMR à !?

1) Tính C

\(C=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+....+\frac{n-1}{n!}\)

\(=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}\)

\(=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)

\(=1-\frac{1}{n!}\)

3) a) Ta có : \(P=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{100}\)

\(=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+....+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\left(đpcm\right)\)

Thanks !!!