Xét tam giác  IBM và tam giác MNI ta có

MI=MI canh chung

BI= MN (gt)

góc MIB = góc IMN ( 2 góc so letrong và AB//MN)

-> tam giac IBM = tam giac MNI (c-g-c)

-> góc BMI = góc MIN 

mà 2 góc o vi tri sole trong 

nên IM //AC

 MN // AB nên ∠NMC=∠ABC∠NMC=∠ABC (đồng vị)
ΔIBM=ΔNMCΔIBM=ΔNMC(c. g. c) nên ∠IMB=∠ACB.∠IMB=∠ACB.Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IM // AC.

TA CÓ:

IM là cạnh chung

BI=MN(gt)

góc MIB=góc IMN  (AB//MN)

TAM giác IBM=Tam giác INM(c-g-c)

góc BMI=góc MIN

suy ra IM//AC

Ta có : Tam giác ABM cân tại B

=>MAB^=AMB^ (1)

Lại có : IMB^=IAB^=90* (2)

Từ 1 và 2 : +)IAM^=90*-MAB^

                  +)IMA^ =90*-AMB^

                  =>IAM^=IMA^

=>Tam giác IAM cân tại I

=>IA=iM

''∠'' là góc nhé.
a) Vì ∆ABC vuông tại A (GT) 
=> ∠BAC = 90^o (ĐN) (1)
Vì IM ⊥ BC (GT)
=> ∠IMB = 90^o 
Mà ∠BAC = 90^o (Theo (1))
(Ngoặc ''}'' 2 điều trên)
=> ∠BAC = ∠IMB = 90^o
Hay ∠BAI = ∠IMB = 90^o (2)
Xét ∆ABI và ∆MBI có :
∠BAI = ∠IMB = 90^o (Theo (2))
  BI chung
  BA = BM (Gt)
=> ∆ABI = ∆MBI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> AI = IM (2 cạnh tương ứng) (3)

b) Ta có : ∠BAC + ∠NAC = 180^o (2 góc kề bù)
    Mà ∠BAC = 90^o (Theo (1))
=> 90^o + ∠NAC = 180^o 
=> ∠NAC = 180^o - 90^o = 90^o
Vì IM ⊥ BC (GT) => ∠IMC = 90^o (ĐN)
(Ngoặc ''}'' 2 điều trên)
=> ∠NAC = ∠IMC = 90^o
Hay ∠NAI = ∠IMC = 90^o (4)
Lại có : ∠I₁ = ∠I₂ (2 góc đối đỉnh) (5)
Xét ∆ANI và ∆MCI có :
∠NAI = ∠IMC = 90^o (Theo (4))
AI = MI (Theo (3))
∠I₁ = ∠I₂ (Theo (5))
=> ∆ANI = ∆MCI (g.c.g)
=> AN = MC (2 cạnh tương ứng)
Mà AN + BA = BN
      MC + BM = BC 
     BA = BM (GT)
(Ngoặc ''}'' 4 điều trên)
=> BN = BC
=> ∆NBC cân tại B (ĐN)
P/s : Xin lỗi, mình chỉ làm được đến đây thôi, nghỉ nhiều quá nên mình ngu hẳn, có gì mình nghiên cứu lại sau :(.

a: Xét ΔMBD vuông tại D và ΔNCE vuông tại E có 

DB=CE

\(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\left(=\widehat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔMBD=ΔNCE

Suy ra: DM=EN