Xét tam giác AHB và tam giác AKC 

^A _ chung ; AB = AC 

Vậy tam giác AHB = tam giác AKC (ch-gn) 

=> AH/AK = AB/AC => AH/AB = AK/AC 

Xét tam giác AKH và tam giác ACB có 

^A _ chung; AH/AB = AK/AC 

Vậy tam giác AKH ~ tam giác ACB (c.g.c)

\(HC=\sqrt{AC^2-AH^2}=16\left(cm\right)\)

BC=BH+HC=21(cm)

\(AB=\sqrt{AH^2+HB^2}=13\left(cm\right)\)

C=AB+BC+AC=13+20+21=54(cm)

Xét tam giác vuông AHB có

 AH ^2 + BH ^2 = AB ^2  ( Pytago)

=> AB ^2 = 12^2 + 5^2 

=> Ab = 13

Xét tam giác vuông AHC có

AH^2 + HC^2 = AC ^2 ( Pytago)

=> HC^2 = AC^2 - AH^2 = 20^2 -12^2

=> HC =16

BC = HC + BH = 16 + 5 = 21

Chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 13 + 20 + 21= 54 cm

ΔAHB vuông tại H

=>AB^2=AH^2+HB^2

ΔAHC vuông tại H

=>AC^2=AH^2+CH^2

AB^2-AC^2

=BH^2+AH^2-AH^2-CH^2

=BH^2-CH^2

Bài 2:

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên phân giác $AD$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AD\perp DC$. Mà $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}:2 =45^0$ nên $\triangle DAC$ vuông cân tại $D$

$\Rightarrow DA=DC(1)$

$D,E$ đối xứng với nhau qua $AC$ nên $AC$ là trung trực của $DE$

$\Rightarrow CD=CE; AD=AE(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow AD=DC=CE=EA$

$\Rightarrow ADCE$ là hình thoi.

Mà $\widehat{ADC}=90^0$ nên $ADCE$ là hình vuông.

Hình bài 2:

Bài 3:
Xét tam giác $ABH$ và $ACK$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^0$
$\widehat{A}$ chung

$\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle ACK$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{AH}=\frac{AC}{AK}$

Xét tam giác $AKH$ và $ACB$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AH}{AB}=\frac{AK}{AC}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AKH\sim \triangle ACB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{K_2}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{H_1}=\widehat{ABC}$

Xét tam giác $KEB$ và $CHB$ có:

$\widehat{KEB}=\widehat{CHB}=90^0$
$\widehat{K_1}=\widehat{K_2}=\widehat{ACB}=\widehat{HCB}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle KEB\sim \triangle CHB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{KE}{KB}=\frac{CH}{CB}(1)$
Tương tự: 

$\triangle CFH\sim \triangle CKB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \frac{CH}{FH}=\frac{CB}{KB}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \frac{KE}{KB}.\frac{CH}{FH}=\frac{CH}{CB}.\frac{CB}{KB}$

$\Rightarrow \frac{KE}{HF}=1$
$\Rightarrow KE=HF$ (đpcm)

Kẻ đường cao AJ, trực tâm của tam giác là I. Khi đó AKIH là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{AKH}=\widehat{AIH}\) (Cùng chắn cung AH)

Lại có \(\widehat{AIH}=\widehat{ACB}\) (Cùng phụ với \(\widehat{HAI}\) ). Vậy thì \(\widehat{AKH}=\widehat{ACB}\)

Vậy thì \(\Delta AKH\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AK}{AC}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AK.AB=AH.AC\left(1\right)\)

Xét tam giác vuông ABE, áp dụng hệ thức lượng ta có AE² = AK.AB. Tương tự AD² = AH.AC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE = AD (đpcm)

Trên tia đối HB lấy D sao cho HD = HB

=> BC - DA

c/m đc : 

BC = BD ; góc HBC = góc HBD

=> BD=AD

=> góc DBA = góc DAB = góc BHD ( cùng phụ với góc BCA ) 

=> góc DBA = góc DAB = góc HBC = góc HBD

Có : góc CDB = góc DBA + góc DAB =góc HBC + góc HBD

=> góc CBD = góc CDB

=> góc CBD = góc CDB = góc BCD = 60 độ

=> góc CAB = 30 độ

Vậy góc BCA = 60 độ và góc CAB = 30 độ

Tk mk nha

Hình như đề sai á