Chứng minh biểu thức thế nào em?

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
x/(y+z+t) = y/(x+z+t)=z/(x+y+t)=t/(y+z+x)= (x+y+z+t)/3(x+y+z+t)=1/3 
=> 3x = y+z+t 
3y= x+z+t 
3z= x+y+t 
3t= x+y+z 
Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta suy ra: 
x+y+z+t = 0 
=> x+ y=-(z+t) ; y+z=-(x+t); z+t=-(x+y); t+x=-(z+y) 
Thế vào P ta được: P = -(z+t)/(z+t) -(t+x)/(t+x) - (x+y)/(x+y) - (z+y)/(z+y) = -4

sao lại là 3 hả bạn ?

TH1: \(x+y+z+t=0\)

\(P=\left(1+\dfrac{x+y}{z+t}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{y+z}{x+t}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{z+t}{x+y}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{t+x}{y+z}\right)^{2023}\)

\(=\left(\dfrac{x+y+z+t}{z+t}\right)^{2023}+\left(\dfrac{x+y+z+t}{x+t}\right)^{2023}+\left(\dfrac{x+y+z+t}{x+y}\right)^{2023}+\left(\dfrac{x+y+z+t}{y+z}\right)^{2023}\)

\(=0+0+0+0=0\) là số nguyên (thỏa mãn)

TH2: \(x+y+z+t\ne0\), áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{2023x+y+z+t}=\dfrac{y}{x+2023y+z+t}=\dfrac{z}{x+y+2023z+t}+\dfrac{t}{x+y+z+2023t}\)

\(=\dfrac{x+y+z+t}{\left(2023x+y+z+t\right)+\left(x+2023y+z+t\right)+\left(x+y+2023z+t\right)+\left(x+y+z+2023t\right)}\)

\(=\dfrac{x+y+z+t}{2026\left(x+y+z+t\right)}=\dfrac{1}{2026}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2023x+y+z+t}=\dfrac{1}{2026}\\\dfrac{y}{x+2023y+z+t}=\dfrac{1}{2026}\\\dfrac{z}{x+y+2023z+t}=\dfrac{1}{2026}\\\dfrac{t}{x+y+z+2023t}=\dfrac{1}{2026}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2026x=2023x+y+z+t\\2026y=x+2023y+z+t\\2026z=x+y+2023z+t\\2026t=x+y+z+2023t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=x+y+z+t\\4y=x+y+z+t\\4z=x+y+z+t\\4t=x+y+z+t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x=4y=4z=4t\) (vì đều bằng \(x+y+z+t\))

\(\Rightarrow x=y=z=t\)

Do đó:

\(P=\left(1+\dfrac{x+x}{x+x}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{x+x}{x+x}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{x+x}{x+x}\right)^{2023}+\left(1+\dfrac{x+x}{x+x}\right)^{2023}\)

\(=2^{2023}+2^{2023}+2^{2023}+2^{2023}\)

\(=4.2^{2023}=2^{2025}\in Z\)

Em kiểm tra lại đề, 2 ngoặc cuối bị giống nhau, chắc em ghi nhầm

đề bài phải là x,y,z,t nguyên dương. 
Vì nếu cho x=z=1;y=t=0 thì thỏa mãn: x²+y²=z²+t² 
nhưng x+y+z+t = 2 là số nguyên tố. 

với x,y,z,t là số nguyên dương => x+y+z+t >=4 
giả sử x+y+z+t là số nguyên tố 
ta có x+y+z+t >= 4 => x+y+z+t lẽ 
=> trong x,y,z,t có một số lẽ số lẽ ( 1 hoặc 3 số lẽ ) 
* trường hợp 1: có 1 số lẽ, giả sử là x => x²+y² lẽ , còn z²+t² chẳn, vô lý vì chúng bằng nhau 
* trường hợp 2: có 3 số lẽ, 1 số chẳn, giả sử x chẳn. => x²+y² lẽ , còn z²+t² chẳn, vô lý. 
mọi trường hợp đều dẫn kết điều mâu thuẩn , vậy giả thiết phản chứng là sai và bài toán được chứng minh.

Ace Legona giúp vs ạ bài 1 thui cx đc