PT <=> \(x^2-4x\left(y-1\right)+5y^2-8y-12=0\)

Xét \(\Delta'=\left[-2\left(y-1\right)\right]^2-1.\left(5y^2-8y-12\right)\)

= \(4\left(y^2-2y+1\right)-5y^2+8y+12\)

= \(-y^2+16\)

Để PT có nghiệm <=> \(\Delta'\ge0< =>-y^2+16\ge0\)

<=> \(y^2\le16\) <=> \(-4\le y\le4\)

Mà y nguyên 

<=> \(y\in\left\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}\)

Đến đây bn thay y vào PT để tìm x nhé

Ta có:

\(x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4xy+4x+4y^2-8y+4+y^2-16=0\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2-\left(4xy-4x\right)+\left(4y^2-8y+4\right)\right]+y^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2-4x\left(y-1\right)+4\left(y-1\right)^2\right]+y^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y+2\right)^2+y^2=16\)

Do \(x,y\in Z\) => \(\left(x-2y+2\right)^2\) và \(y^2\) là 2 số chính phương.

Mà do tổng 2 số chính phương này là 16 => Một trong hai số chính phương là 16 và số còn lại là 0.

Ta có bảng sau:

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là:

\(\left(x;y\right)=\left(6;4\right);\left(-10;-4\right);\left(2;0\right);\left(-6;0\right)\)

Bạn sửa lại đề đi:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(^{x^2-4xy+5y^2+10x-22y+26=0}\)

khác j nhau đâu

Ta có: \(x^2-4xy+5y^2-16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+y^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+y^2=16\)

Vì \(x;y\in Z\Rightarrow\left(x-2y\right)^2\in Z;y^2\in Z\)  

    Và \(\left(x-2y\right)^2\ge0,y^2\ge0\)

\(\left(x;y\right)=\left(8;4\right),\left(-8;-4\right),\left(4;0\right),\left(-4;0\right)\)

Ta có các tập nghiệm: \(\left(x;y\right)=\left(8;4\right),\left(-8;-4\right),\left(4;0\right),\left(-4;0\right)\) thì thỏa mãn phương trình

PT \(\Leftrightarrow x^2+\left(-4y\right).x+\left(5y^2-16\right)=0\)

Để PT trên có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta=\left(-4y\right)^2-4\left(5y^2-16\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow16y^2-20y^2+64\ge0\Leftrightarrow-4y^2+64\ge0\Leftrightarrow-4y^2\ge-64\)

\(\Leftrightarrow y^2\le16\Rightarrow-4\le y\le4\)

Đến đây xét các giá trị của y là tìm ra x

\(x^2-4xy+5y^2-16=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-4xy+4y^2\right)+y^2=16\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+y^2=16\)

Do \(x,y\in Z\Rightarrow\left(x-2y\right)^2\in Z,y^2\in Z,\left(x-2y\right)^2\ge0,y^2\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}\left(x-2y\right)^2=0\\y^2=16\end{cases}}\)hoặc  \(\orbr{\begin{cases}\left(x-2y\right)^2=16\\y^2=0\end{cases}}\)

Đến đây tự xét các TH ta có cặp nghiệm :

( x , y ) = ( 8 ; 4 ) ; ( -8 ; -4 ) ; ( -4 ; 0 ) Thỏa mãn PT 

\(x^2-4xy+5y^2-16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+y^2=16\)

Ta xét các TH:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=0\\y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=4\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=4\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy ta tìm được cặp số (x; y) là \(\left(8;4\right);\left(4;0\right)\)

\(2x^2+5y^2-4xy-8y-4x+14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2+2y^2-4xy\right)+3y^2-8y-4x+14=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2-2xy\right)-4\left(x-y\right)-12y+3y^2+14=0\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1\right]+3y^2-12y+12\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-y-1\right)^2+3\left(y-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=3\end{matrix}\right.\)