Question

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0\)

Answer 1

Ta có:

\(x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4xy+4x+4y^2-8y+4+y^2-16=0\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2-\left(4xy-4x\right)+\left(4y^2-8y+4\right)\right]+y^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2-4x\left(y-1\right)+4\left(y-1\right)^2\right]+y^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y+2\right)^2+y^2=16\)

Do \(x,y\in Z\) => \(\left(x-2y+2\right)^2\) và \(y^2\) là 2 số chính phương.

Mà do tổng 2 số chính phương này là 16 => Một trong hai số chính phương là 16 và số còn lại là 0.

Ta có bảng sau:

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là:

\(\left(x;y\right)=\left(6;4\right);\left(-10;-4\right);\left(2;0\right);\left(-6;0\right)\)