a, Áp dụng định lí Piatago trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow BC^2=5^2+12^2\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{169}\)

\(\Rightarrow BC=13cm\)

Ta có: \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên:

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.13=6,5cm\)

b, Xét tứ giác \(ABCD\) có:

\(M\) là trung điểm của \(AD\)

\(M\) là trung điểm của \(BC\)

\(\Rightarrow ABCD\) là HBH

\(\Rightarrow AD=BC\)

c, Giả sử \(AB=AC\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông cân ( Từ đầu \(\Delta ABC\) vuông rồi)

Xét HBH \(ABCD\) có:

\(\widehat{A}=90^0\)

\(\Rightarrow ABCD\) là HCN

Xét hình chữ nhật \(ABCD\) có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow ABCD\) là hình vuông.

Để \(ABCD\) là hình vuông thì \(\Delta ABC\)  vuông tại \(A\) cần thêm điều kiện \(AB=AC\) 

a ) Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A (gt) có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)( định lý Py - ta - go )
\(BC^2=5^2+12^2\)

\(BC^2=25+144\)

\(BC^2=169\)

\(\Rightarrow BC=13cm\)( vì BC > 0 )

+ Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC trong tam giác vuông ABC ( gt)

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)( tính chất tam giác vuông cân )

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}.13\)

\(\Rightarrow AM=6,5\left(cm\right)\)

b ) Vì AM là đường trung tuyến  của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow M\)là trung điểm của BC (1) 

+ Vì D đối xứng với A qua M (gt)

\(\Rightarrow M\)là trung điểm của AD (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) 2 dường chéo BC và AD cắt nahu tại trung điểm M của mỗi đường 

\(\Rightarrow\)Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành )

Mà \(\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\)Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật ( dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật )

\(\Rightarrow AD=BC\)( tính chất hình chữ nhật )

c ) Theo câu b ta có \(ABCD\)là hình chữ nhật 

Để hình chữ nhật \(ABCD\) là hình vuông

\(\Leftrightarrow AB=AC\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)cân tại A

Mà \(\Delta ABC\)vuông tại A (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông cân tại A .

Vậy \(\Delta ABC\)vuông cân tại A thì hình chữ hật ABCD là hình vuông 

Chức bạn học tốt !!!

a) \(BC^2=AC^2+AB^2=5^2+12^2=169=13^2\)

=> \(BC=13\)

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông thì

   \(AM=\frac{1}{2}BC=\frac{13}{2}=6,5\)

b) ABDC là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Hơn nữa góc A vuông nên ABDC là hình chữ nhật. Suy ra hai đường chéo bằng nhau, AD = BC

c) Để ABDC là hình vuông thì AB = AC => Tam giác ABC là vuông cân.

a) BC^2=AC^2+AB^2=5^2+12^2=169=13^2

=> BC=13

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông thì

   AM=12 BC=132 =6,5

b) ABDC là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Hơn nữa góc A vuông nên ABDC là hình chữ nhật. Suy ra hai đường chéo bằng nhau, AD = BC

c) Để ABDC là hình vuông thì AB = AC => Tam giác ABC là vuông cân.

a: Xét ΔABM và ΔDCM có

MA=MD

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)

MB=MC

Do đó: ΔABM=ΔDCM

b: Xét tứ giác ABDC có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của AD

Do đó: ABDC là hình bình hành

Suy ra: AB//DC

c: Ta có: ΔACB cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là đường cao

a: Xét ΔABM và ΔDCM có

MA=MD

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)

MB=MC

Do đó: ΔABM=ΔDCM

b: Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm của AD
M là trung điểm của BC

Do đó:ABDC là hình bình hành

Suy ra: AB//CD

c: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM la đường cao

a: Xét ΔABM và ΔDCM có 

MA=MD

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)

MB=MC

DO đó: ΔABM=ΔDCM

b: Xét tứ giác ABDC có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của AD
Do đó: ABDC là hình bình hành

Suy ra: AB//DC

c: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM la đường cao

Tham Khảo :

Bạn tự vẽ hình nha

a) Xét t/g ABM và t/g DCM có:

BM = CM (gt)

AMB = DMC ( đối đỉnh)

MA = MD (gt)

Do đó, t/g ABM = t/g DCM (c.g.c) (đpcm)

b) t/g ABM = t/g DCM (câu a)

=> ABM = DCM (2 góc tương ứng)

Mà ABM và DCM là 2 góc ở vj trí so le trong nên AB // DC (đpcm)

c) t/g AMC = t/g AMB (c.c.c)

=> AMC = AMB (2 góc tương ứng)

Mà AMC + AMB = 180^o ( kề bù)

=> AMC = AMB = 90^o

=> AM _|_ BC (đpcm)

d) AB // CD => BAD = ADC = 30^o (so le trong)

Mà BAD = CAD do t/g AMB = t/g AMC (câu c)

=> BAD + CAD = 2.BAD = 2.30^o = 60^o

T/g ABC cân tại A, có BAC = 60^o

=> t/g BAC đều