Bài làm:

a,  Vì △MNP cân tại P => PN = PM

Xét △NPI và △MPI

Có: NP = MP (gt)

      NPI = MPI (gt)

    PI là cạnh chung

=> △NPI = △MPI (c.g.c)

b, Xét △HPI vuông tại H và △KPI vuông tại K

Có: PI là cạnh chung

   HPI = KPI (gt)

=> △HPI = △KPI (ch-gn)

=> HIP = PIK (2 góc tương ứng)

Mà IP nằm giữa IH, IK

=> IP là phân giác KIH

c, Ta có: PIN = MIQ (2 góc đối đỉnh)

Mà PIN = 90^o (gt)

=> MIQ = 90^o    (1) 

Xét △MIQ có: IQ = IM => △MIQ cân tại I   (2)

Từ (1), (2) => △MIQ vuông cân tại I

Vì △NPI = △MPI (cmt) 

=> IN = IM (2 cạnh tương ứng)

Mà MN = IN + IM = 6 (cm)

=> IN = IM = 6 : 2 = 3 (cm)

Mà IM = IQ 

=> IM = IQ = 3 (cm)

Xét △MIQ vuông tại I có: IQ² + IM² = MQ² (định lý Pitago)

=> 3² + 3² = MQ²

=> 9 + 9 = MQ²

=> 18 = MQ²

=> MQ = \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

d, Để △PHK đều <=> HPK = PKH = KHP = 60^o

=> △MNP có NPM = 60^o mà △MNP cân

=> △MNP đều

Vậy để △PKH đều <=> △MNP đều

giúp vs mình cần gấp :(((

tu ve hinh : 

xet tamgiac AMN can tai A (gt) => goc AMN = goc ANM va AM = AN (dn)

AH vuong goc voi MN => goc AHN = goc AHM = 90^o (dn)  

=> tamgiac AMH = tamgiac ANH (ch - gn)

=> goc NAH = goc MAH (dn) ma AH nam giua AN va AM 

=> AH la phan giac cua goc MAN

Bạn tự vẽ hình nhé. 

a) Xét tam giác \(ABM\)và tam giác \(NBM\)có: 

\(\widehat{MAB}=\widehat{MNB}\left(=90^o\right)\)

\(MB\)cạnh chung

\(\widehat{MBA}=\widehat{MBN}\)(vì \(BM\)là tia phân giác \(\widehat{ABN}\))

suy ra \(\Delta ABM=\Delta NBM\)(cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{NMB}\)(Hai góc tương ứng) 

suy ra \(MB\)là tia phân giác góc \(AMN\).

b) Vì \(NK//BM\)nên \(\widehat{BMN}=\widehat{MNK}\)(hai góc so le trong) 

và \(\widehat{BMA}=\widehat{NKM}\)(Hai góc đồng vị) 

mà \(\widehat{AMB}=\widehat{NMB}\)(theo a)) 

suy ra \(\widehat{MNK}=\widehat{NKM}\)suy ra tam giác \(MNK\)cân tại \(M\).

c) Vì \(\Delta ABM=\Delta NBM\)nên

+) \(MN=MA\)(Hai cạnh tương ứng) suy ra \(M\)thuộc đường trung trực của \(AN\).

+) \(BN=BA\)(Hai cạnh tương ứng) suy ra \(B\)thuộc đường trung trực của \(AN\).

suy ra \(BM\)là đường trung trực của \(AN\)\(\Rightarrow BM\perp AN\).

mà \(NK//BM\)suy ra \(AN\perp NK\).

Trong tam giác vuông \(ANK\): \(AN< AK\)(cạnh góc huyền lớn hơn cạnh góc vuông).

d) \(K\)là trung điểm \(MC\)suy ra \(MK=\frac{1}{2}MC\)mà \(MN=MK\)(do tam giác \(MNK\)cân tại \(M\))

suy ra \(MN=\frac{1}{2}MC\).

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng \(\frac{1}{2}\)cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó bằng \(30^o\).

Do đó \(\widehat{C}=30^o\).

Vậy tam giác vuông \(ABC\)cần thêm điều kiện \(\widehat{C}=30^o\).

t lười vẽ hình lắm, vô cùng xin lỗi :(

a) Vì ∆ ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến => HB = HC = 12:2 = 6 

Áp dụng định lí  Py-ta-go cho ∆ AHB, ta được: AH² + BH² = AB² => AB² = 12² + 9² = 225 = 15² => AB = 15 = AC

=> P_ABC = AB + AC + BC = 15 + 15 + 18 = 48

b) Vì BM = CN (gt) ; HB = HC (cmt) => HB + BM = HC + CN => HM = HN => AH là trung tuyến của ∆ AMN (1)

 Lại có: AH ┴ BC hay AH ┴ MN => AH là đường cao của ∆ AMN (2)

Từ (1) và (2) =>∆ AMN cân tại A

c) Xét ∆ BIM và ∆ CKN vuông tại I và K có:

MB = NC (gt) ; ^KNC = ^IMB (∆AMN cân tại A) => ∆ BIM = ∆ CKN ( ch - gn ) => MI = KN

Mà AM = AN (∆AMN cân tại A) => AI = AK => ∆ AIK cân tại A

=> ^AIK = ^AKI = ( 180^o - ^MAN ) : 2 = ^AMN = ^ANM => IK // MN (đồng vị) hay IK // BC

d) Vì IK // MN => ^IKN = ^KCN (slt) ; ^KIB = ^IBM (slt)

    Lại có: ^IBM = ^KCN ( vì ∆BIM=∆CKN ) => ^IKN = ^KIB hay ^OIK = ^OKI => ∆OKI cân tại O => OK = OI

Xét ∆ AIO và ∆ AKO có:

AI = AK ( ∆AIK cân tại A) ; OK = OI (cmt) ; AO (chung) => ∆ AIO = ∆ AKO ( c-c-c )

=> ^OAI = ^OAK (3)

Vì ∆AMN cân tại A => AH là phân giác của ∆AMN.=> ^HAM = ^HAN hay ^HAI = ^HAK (4)

Từ (3) và (4) => A, O, H thẳng hàng.

Ya, that's it!

Kien thuc nay ai da duoc hoc ma hieu 

crazy girl

Không có học trò dốt

Mà chỉ có thầy chưa giỏi

`Answer:`

a) Áp dụng định lý Pytago vào `\triangleAMN` vuông tại `A`, ta có:

`AN^2 =MN^2 -AM^2 <=>AN^2 =37^2 -12^2 <=>AN^2 =1369-144=1225<=>AN=35cm`

Ta có: `AM<AN<MN=>\hat{N}<\hat{M}<\hat{A}`

b) Xét `\triangleABI` và `\triangleNBI`, ta có:

`BI` chung

`AI=NI`

`\hat{AIB}=\hat{BIN}=90^o`

`=>\triangleABI=\triangleNBI`

c) Ta có:

`BI` vuông góc `AN`

`AM` vuông góc `AN`

\(\Rightarrow BI//AM\)

Mà `I` là trung điểm `AN`

`=>B` là trung điểm `MN`

`=>NB=1/2 MN`

Xét `\triangleACN`, ta có:

`NB` và `CI` là đường trung tuyến mà đều đi qua `D`

`=>D` là trọng tâm

`=>ND=2/3 NB`

Mà `NB=MB`

`=>ND=1/3 MN`

`=>MN=3ND`

Bạn tự vẽ hình nha

a.Vì tam giác ABC cân tại A nên AB= AC và góc ABC = góc ACB

<=> góc ABM = góc ACN (vì các góc kề bù với nhau)

Xét tam giác ABM và tam giác ACN

Có: AB = AC (CMT)

      góc ABM = góc ACN (CMT)

      BM = CN (gt)

<=> tam giác ABM = tam giác ACN (c.g.c)

<=> AM = AN ( 2 góc tương ứng)

<=> tam giác AMN cân tại A

b. Vì tam giác ABM = tam giác ACN (CMT)

<=> góc MAB = góc CAN ( 2 góc tương ứng)

Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông AKC

Có: AB= AC (CMT)

      góc AHB= góc AKC= 90 độ

     góc MAB = góc CAN (CMT)

<=> tam giác AHB = tam giác AKC ( cạnh huyền- góc nhọn)