a) Xét △MNE và △HNE có

NE cạnh chung

góc MNE = góc ENH (gt)

⇒ △MNE = △HNE ( cạnh huyền - góc nhọn )

⇒ MN = HN ( 2 cạnh tương ứng )

⇒△MNH cân

b) Trong tam giác cân , đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến , đường trung trực và đường cao mà NE là đường phân giác

⇒ NE là đường trung trực MH 3

c) △MNE = △HNE (cma ) ⇒ ME = EH ( 2cạnh tương ứng )

Xét △MEK và △HEP có

góc MEK = góc HEP ( đối đỉnh )

ME=EH ( cmt )

⇒△MEK = △HEP ( góc nhọn - cạnh góc vuông )

Có NM + MK = NK

NH + HP = MP

mà NM = NH ; EM=HP ⇒△MKP cân

Trong tam giác cân , đường pg đồng thờilà đường tung trực , đường cao mà NE là tia pg

⇒NE là đường trung trực ⇒ NE ⊥ PK

⇒

a: Xét ΔMNI và ΔMPI có 

MN=MP

NI=PI

MI chung

Do đó: ΔMNI=ΔMPI

b: Ta có: ΔMNP cân tại M

mà MI là đường trung tuyến

nên MI là đường trung tuyến

c: Ta có: ΔMNP cân tại M

mà MI là đường trung tuyến

nên MI là đường cao

a: Xét ΔMNI và ΔMPI có 

MN=MP

NI=PI

MI chung

Do đó: ΔMNI=ΔMPI

Ta có: ΔMNP cân tại M

mà MI là đường trung tuyến

nên MI là đường cao

b: Xét tứ giác MNQP có

I là trung điểm của MQ

I là trung điểm của NP

Do đó: MNQP là hình bình hành

Suy ra: MN//PQ

c: Xét tứ giác MEQF có 

ME//QF

ME=QF

Do đó: MEQF là hình bình hành

Suy ra: MQ và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của MQ

nên I là trung điểm của FE

hay E,I,F thẳng hàng

e) Gọi O là giao điểm của IP và HK. Chứng minh \(\widehat{MON}\) = 180^o + \(\widehat{PMO}+\widehat{PNO}+\widehat{HIK}\)

a) Có △MNP cân tại M

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=MP\\\widehat{MNP}=\widehat{MPN}\end{matrix}\right.\)

\(MH\perp NP\Rightarrow\widehat{MHN}=\widehat{MHP}=90^o\)

Xét △MHN và △MHP có:

\(\widehat{MHN}=\widehat{MHP}=90^o\\ MN=MP\\ \widehat{MNH}=\widehat{MPH}\)

\(\Rightarrow\text{△MHN = △MHP}\left(\text{cạnh huyền - góc nhọn}\right)\)

\(\Rightarrow HN=HP\) (2 cạnh tương ứng)

Mà H ∈ NP

\(\Rightarrow\) H là trung điểm của NP

b) \(HD\perp MN\Rightarrow\widehat{HDM}=\widehat{HDN}=90^o\\ HE\perp MP\Rightarrow\widehat{HEM}=\widehat{HEP}=90^o \)

Xét △HDN và △HEP có:

\(\widehat{HDN}=\widehat{HEP}=90^o\\ HN=HP\\ \widehat{DNH}=\widehat{EPH}\)

\(\Rightarrow\text{△HDN = △HEP}\left(\text{cạnh huyền - góc nhọn}\right)\)

\(\Rightarrow HD=HE\) (2 cạnh tương ứng)

Xét △HDE có HD = HE

\(\Rightarrow\) △HDE cân tại H

c) Có △HDN = △HEP

\(\Rightarrow DN=EP\) (2 cạnh tương ứng)

Mà MN = MP

\(\Rightarrow MD=ME\)

Xét △MDE có MD = ME

\(\Rightarrow\) △MDE cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{MDE}=\frac{180^o-\widehat{NMP}}{2}\left(1\right)\)

Lại có: △MNP cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{MNP}=\frac{180^o-\widehat{NMP}}{2}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{MDE}=\widehat{MNP}\)

Mà 2 góc ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow\) DE // NP (dấu hiệu nhận biết)

Mà \(MH\perp NP\)

\(\Rightarrow DE\perp MH\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

a) Xét ΔMHN vuông tại H và ΔMHP vuông tại H có

MN=MP(do ΔMNP cân tại M)

MH là cạnh chung

Do đó: ΔMHN=ΔMHP(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒NH=HP(hai cạnh tương ứng)

mà H∈NP(gt)

nên H là trung điểm của NP(đpcm)

b)Xét ΔDHN vuông tại D và ΔEHP vuông tại E có

NH=HP(cmt)

\(\widehat{DNH}=\widehat{EPH}\)(hai góc ở đáy của ΔMNP cân tại M)

Do đó: ΔDNH=ΔEPH(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒DH=EH(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔHDE có DH=EH(cmt)

nên ΔHDE cân tại H(đpcm)

c)Gọi O là giao điểm của DE và MH

Ta có: \(\widehat{NDH}+\widehat{HDO}+\widehat{MDO}=180độ\)

\(\widehat{PEH}+\widehat{OEH}+\widehat{MEO}=180độ\)

mà \(\widehat{NDH}=\widehat{HEP}\)(=90 độ)

và \(\widehat{HDO}=\widehat{OEH}\)(ΔHDE cân tại H)

nên \(\widehat{MDO}=\widehat{MEO}\)

hay \(\widehat{MDE}=\widehat{MED}\)(vì O∈ED)

Xét ΔMDE có \(\widehat{MDE}=\widehat{MED}\)(cmt)

nên ΔMDE cân tại M(định lí đảo của tam giác cân)

Ta có: ΔMHN=ΔMHP(cmt)

\(\Rightarrow\widehat{NMH}=\widehat{PMH}\)(hai góc tương ứng)

mà D∈MN(gt)

và E∈MP(gt) và O∈MH(theo cách gọi)

nên \(\widehat{DMO}=\widehat{EMO}\)

Xét ΔMDO và ΔMEO có

MD=ME(ΔMDE cân tại M)

\(\widehat{DMO}=\widehat{EMO}\)(cmt)

MO là cạnh chung

Do đó: ΔMDO=ΔMEO(c-g-c)

⇒\(\widehat{MOD}=\widehat{MOE}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{MOD}+\widehat{MOE}=180độ\)(do D,O,E thẳng hàng)

nên \(\widehat{MOD}=\widehat{MOE}=\frac{180độ}{2}=90độ\)

⇒MO⊥DE

hay MH⊥DE(đpcm)

a) Xét tam giác MNI và tam giác MPI có:

MN = MP (gt)

MI là cạnh chung

NI = PI (I là trung điểm của NP)

=> Tam giác MNI = tam giác MPI (c.c.c)

b. Có tam giác MNI=tam giác MPI->MIN=MIP(2 góc tương ứng)

c) Vì MI vuông góc với NP tại I (trung điểm của đoạn thẳng NP)

=> MI là đường trung trực của đoạn thẳng NP

a,xét MNI và MPI có 

MN=MP (gt) 

IN=IP    (gt)

MI là cạnh chung

=> MNI=MPI (c.c.c)

b, Vì MNI =MPI => MIN=MIP (2 góc tương ứng )

c,c. Vì MNP cân tại M nên MI là đg trung tuyến, đồng thời là đường trung trực của NP

like mik nha!

chúc bạn học tốt!

a) Xét \(\Delta MNA,\Delta DPA\) có :

\(MA=DA\) (gt)

\(\widehat{MAN}=\widehat{DAP}\) (đối đỉnh)

\(NA=PA\) (A là trung điểm của NP)

=> \(\Delta MNA=\Delta DPA\left(c.g.c\right)\)

=> \(\text{MN = DP (2 cạnh tương ứng)}\)

b) Xét \(\Delta MNH,\Delta MEH\) có :

\(HN=HE\left(gt\right)\)

\(\widehat{MHN}=\widehat{MHE}\left(=90^o\right)\)

\(MH:Chung\)

=> \(\Delta MNH=\Delta MEH\left(c.g.c\right)\)

=> MN= ME (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta MNE\) cân tại M.

c) Xét \(\Delta NHP,\Delta EHP\) có :

\(HN=HE\left(gt\right)\)

\(\widehat{NHP}=\widehat{EHP}\left(=90^o\right)\)

\(HP:Chung\)

=> \(\Delta NHP=\Delta EHP\left(c.g.c\right)\)

=> \(NP=EP\) (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét \(\Delta MNP,\Delta MEP\) có :

\(MN=ME\) (\(\Delta MNE\) cân tại M)

\(MP:Chung\)

\(NP=EP\) (cmt *)

=> \(\Delta MNP=\Delta MEP\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{MNP}=\widehat{MEP}=90^o\) (2 góc tương ứng)

=> \(PE\perp ME\rightarrowđpcm\)

a) Xét tam giác MNA và tam giác DPA , có :

AN = AP ( gt )

AM = AD ( gt )

góc MAN = góc DAP ( đối đỉnh )

=> tam giác MNA = tam giác DPA ( c-g-c )

=> MN = DP ( hai cạnh tương ứng )

Vậy MN = DP

b) Ta có : góc MHN + góc MHE = 180^o ( hai góc kề bù ) mà góc MHN = 90^o nên góc MHE = 90^o

Xét tam giác MHN và tam giác MHE , có :

MH : chung

HN = HE ( gt )

góc MHN = góc MHE ( = 90^o )

=> tam giác MHN = tam giác MHE ( hai cạnh góc vuông )

=> MN = ME ( hai cạnh tương ứng )

=> tam giác MNE cân tại M

Vậy tam giác MNE cân

c) Ta có : góc PHN + góc PHE = 180^o ( hai góc kề bù ) mà góc PHN = 90^o ( gt ) => góc PHE = 90^o

Xét tam giác PHN và tam giác PHE , có :

PH : chung

HN = HE ( gt )

góc PHN = góc PHE ( = 90^o )

=> tam giác PHN = tam giác PHE ( ai cạnh góc vuông )

=> PN = PE ( hai cạnh tương ứng )

Xét tam giác MNP và tam giác MEP , có :

MN = ME ( chứng minh trên )

PN = PE ( chứng minh trên )

MP : chung

=> tam giác MNP = tam giác MEP ( c-c-c )

=> góc MNP = góc MEP ( = 90^o ) hay PE \(\perp ME\)

Vậy PE \(\perp ME\) ( đpcm )