Tìm giá trị lớn nhất của G
G= \(\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\left(\frac{x^2-2x+1}{2}\right)\)
Rút gọn: \(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{2}{x^2-2x+1}\right)\)
a/ Tìm x để P>0
b/Tìm giá trị của P khi x=\(7-4\sqrt{3}\)
c/ Tìm giá trị lớn nhất của P va2 giá trị của x tương ứng
ĐKXĐ:
\(x-1\ne0\text{ và }x\ge0\)
\(x\ne1\text{ và }x\ge0\)
\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{2}{x^2-2x+1}\right)\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right):\left(\frac{2}{\left(x-1\right)^2}\right)\)
\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right):\left(\frac{2}{\left(\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\right)^2}\right)\)
\(=\frac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)
\(=\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)
\(=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=-x+\sqrt{x}\)
A=\(\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x+2\sqrt{x}+1}\right)\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)
a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm giá trị lớn nhất
\(A=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\frac{\left(1-x\right)^2}{2},\)
a) Rút gọn A
b)tìm x để A dương
c)tìm giá trị lớn nhất của A
ĐK \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)
a, \(A=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right).\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2.\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2.\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)
\(=\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2.\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)
b. \(A>0\Rightarrow-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)>0\Rightarrow\sqrt{x}-1< 0\Rightarrow0\le x< 1\)
c. \(A=-\left(x-\sqrt{x}\right)=-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\)
Vậy \(MaxA=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)
cho bt \(P=(\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-4}{2x+3\sqrt{x}+1}).\left(\frac{2\sqrt{x}}{(2\sqrt{x}+1)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{3}{2\sqrt{x}+1}\right)\)
rút gọn P
stifm giá trị nhỏ nhất của P
1) TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =\(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\)
2) Giải phương trình \(x^2+9x+21=\sqrt{2x+9}\)
3) Cho x ,y thay đổi thỏa mãn\(0< x< 1;0< y< 1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =\(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\)
4) Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)
Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất cho biểu thức sau:
\(\frac{3\left(x+\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\)
Xét số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất cỉa biểu thức sau :
\(P=\frac{\sqrt{3\left(2x^2+2x+1\right)}}{3}+\frac{1}{2x^2+\left(3-\sqrt{3}\right)x+3}+\frac{1}{2x^2+\left(3+\sqrt{3}\right)x+3}\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với mỗi số thực x, xét các điểm A(c; x+1); \(B\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\) và \(C\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
Khi đó, ta có \(P=\frac{OA}{a}+\frac{OB}{b}+\frac{OC}{c}\) trong đó a=BC, b=CA, c=AB
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có :
\(P=\frac{OA.GA}{a.GA}+\frac{OB.GB}{b.GB}+\frac{OC.GC}{c.GC}=\frac{3}{2}\left(\frac{OA.GA}{a.m_a}+\frac{OB.GB}{b.m_b}+\frac{OC.GC}{c.m_c}\right)\)
Trong đó \(m_a;m_b;m_c\) tương ứng là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A,B, C của tam giác ABC
Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số thực không âm, ta có
\(a.m_a=\frac{1}{2\sqrt{3}}.\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{3}}.\frac{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\)
bằng cách tương tự, ta cũng có \(b.m_b\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\) và \(c.m_c\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2\sqrt{3}}\)
Suy ra \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{a^2+b^2+c^2}\left(OA.GA+OB.GB+OC.GC\right)\) (1)
Ta có \(OA.GA+OB.GB+OC.GC\ge\overrightarrow{OA.}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{GC}.\) (2)
\(\overrightarrow{OA.}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{GC}\)
\(=\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}\right).\overrightarrow{GA}+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}\right).\overrightarrow{GB}+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}\right).\overrightarrow{GC}\)
\(=\overrightarrow{OG}.\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+GA^2+GB^2+GC^2\)
\(=\frac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)\) \(=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(P\ge\sqrt{3}\)
Hơn nữa, bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy \(P\ge\sqrt{3}\) khi x=0
Vậy min P=\(\sqrt{3}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + xyz = z. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{2x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}+\frac{x^2\left(1+\sqrt{yz}\right)^2}{\left(y+z\right)\left(x^2+1\right)}\)
Tinhs giá trị của \(P=\frac{\sqrt{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\sqrt{\frac{x+1}{x-1}-2}}\left(2x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{\left(x+1\right)^3}-\sqrt{\left(x-1\right)^3}}\) với x>1 tại \(x=2\sqrt{2}\)