Rảnh hơi nhỉ, đây nhanh nhất t i c k đi

đặt mỗi biểu thức trên = một số mũ 2 là đc

a) \(n^2+2n+12\) là số chính phương nên \(n^2+2n+12=m^2\ge0\)

Xét m = 0 thì \(n^2+2n+12=0\) (1)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac=2^2-4.1.12< 0\)

Do \(\Delta< 0\) nên (1) vô nghiệm  (*)

Mặt khác n là số tự nhiên nên \(n^2+2n+12\) là số tự nhiên nên \(m\ge1\)

Xét \(n^2+2n+12\ge1\Leftrightarrow n^2+2n+11\ge0\) (2)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac=2^2-4.1.11< 0\)

Do \(\Delta< 0\) nên (2) vô nghiệm (**)

Từ (*) và (**),ta dễ dàng suy ra không có số n nào thỏa mãn \(n^2+2n+12\) là số chính phương (không chắc)

Nhầm,mình sai rồi nhé.Đừng chép vào, Vì nếu nói thế thì cho  n = 4 thì sẽ thỏa mãn :V

Để \(n^2+n+1589\) là số chính phương thì \(n^2+n+1589=a^2\left(a\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow4n^2+4n+6356=4a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4n^2+4n+1\right)+5355=\left(2a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2-\left(2a\right)^2=-5355\)

\(\)\(\Leftrightarrow\left(2n-2a+1\right)\left(2n+2a+1\right)=-5355\)

Từ đây xét 2n - 2a + 1 ; 2n + 2a + 1 là các ước của - 5355 là ra

\(n^2+n+1589\)

\(n^2+n+1589=m^2\)

\(\Rightarrow\left(4n^2+1\right)^2+6355=4m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2n+1\right)\left(2m-2n-1\right)=6355\)

\(2m+2n+1>2m-2n-1>0\)

Ta viết:\(\left(2m+2n+1\right)\left(2m-2n-1\right)=6355\cdot1=1271\cdot5=205\cdot31=155\cdot414\)

\(\Rightarrow n=\text{ 1588,316,43,28}\)