Ta có:

\(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\\ \Leftrightarrow\left(x^2-x^2-2013\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\\ \Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+2013}=\sqrt{x^2+2013}-x\left(1\right)\)

Tương tự: \(x+\sqrt{x^2+2013}=\sqrt{y^2+2013}-y\left(2\right)\)

Do đó: 2x=-2y

Suy ra: x=-y

Do đó:

\(x^{2013}+y^{2013}=\left(-y\right)^{2013}+y^{2013}=0\left(ĐPCM\right)\)

\(\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2013}}\right)\left(x-\sqrt{x^2+\sqrt{2013}}\right)=x^2-x^2-\sqrt{2013}=-\sqrt{2013}\) (1)

Theo đề bài  và (1) => dpcm

b) theo a có \(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2013}}=-x+\sqrt{x^2+\sqrt{2013}}\)(2)

tương tự ta có \(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2013}}=-y+\sqrt{y^2+\sqrt{2013}}\)(3)

Cộng 2 vế (2)  với (3) => x+y = -x -y

hay 2(x+y) =0 =>S= x+y =0

Ta có\(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(\sqrt{x^2+2013}-x\right)=x^2+2013-x^2=2013\)

Mà \(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+2013}-x=y+\sqrt{y^2+2013}\)(1)

Tương tự \(x+\sqrt{x^2+2013}=\sqrt{y^2+2013}-y\)(2)

Lấy (1) - (2) ta được -2x = 2y

                          <=> 2x + 2y = 0

                          <=> P = x + y = 0

pt <=> \(\left(\sqrt{x^2+2013}+x\right)\)   .  \(\left(\sqrt{x^2+2013}-x\right)\).   \(\left(\sqrt{y^2+2013}+y\right)\)= 2013 . \(\left(\sqrt{x^2+2013}-x\right)\)

<=> 2013 . \(\left(\sqrt{y^2+2013}+y\right)\)= 2013 . \(\left(\sqrt{x^2+2013}-x\right)\)

<=> \(\sqrt{y^2+2013}+y\)=  \(\sqrt{x^2+2013}-x\)

Tương tự : \(\sqrt{x^2+2013}+x\)=  \(\sqrt{y^2+2013}-y\)

=> x=-y

=> x+y = 0

Tk mk nha

Dễ dàng nhận ra \(x-\sqrt{x^2+2013}\ne0\), nhân 2 vế với nó:

\(\Leftrightarrow-2013\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+2013}=\sqrt{x^2+2013}-x\)

Tương tự ta có \(x+\sqrt{x^2+2013}=\sqrt{y^2+2013}-y\)

Cộng vế với vế:

\(x+y+\sqrt{x^2+2013}+\sqrt{y^2+2013}=\sqrt{x^2+2013}+\sqrt{y^2+2013}-x-y\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)=0\Rightarrow P=0\)

Chúng ta nhân biểu thức liên hợp

\(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2013}\right)=2013\left(1\right)\)

\(\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(2\right)\)

Nhân vế với vế của (1) và (2)

\(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013^2\)<=>\(2013.\left(-x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013^2\)

<=>\(\left(-x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\)

Nhân ra

\(xy-y\sqrt{\left(x^2+2013\right)}-x\sqrt{y^2+2013}+\sqrt{\left(x^2+2013\right)\left(y^2+2013\right)}=2013\left(3\right)\)Từ biểu thức ban đầu cho ta có

\(xy+y\sqrt{x^2+2013}+x\sqrt{y^2+2013}+\sqrt{\left(x^2+2013\right)\left(y^2+2013\right)}=2013\left(4\right)\)Cộng 3 và 4 lại với nhau và bình phương 2 vế lên là ra bạn à

Ta có

\(\left(\sqrt{x^2+2013}+x\right)\left(\sqrt{x^2+2013}-x\right)=x^2+2013-x^2=2013\)

\(\left(\sqrt{y^2+2013}+y\right)\left(\sqrt{y^2+2013}-y\right)=y^2+2013-y^2=2013\)

Mà Theo đề Ra

=>\(y+\sqrt{y^2+2013}=\sqrt{x^2+2013}-x\)(*)

và \(x+\sqrt{x^2+2013}=\sqrt{y^2+2013}-y\)(**)

Cộng  (*) với (**)

=>x+y = -x -y

hay x + y =0

=> A = x+y =0

cả 2 bạn đề đúng nhưng mình thích câu của bạn Dương hơn vì ngắn gọn dễ hiểu

Đặt \(\sqrt{\text{x}}-\sqrt{y}=a\); \(\sqrt{y}-\sqrt{z}=b\); \(\sqrt{z}-\sqrt{x}=c\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\). Ta sẽ chứng minh : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Ta có : \(a+b+c=0\Rightarrow a=-\left(b+c\right)\Rightarrow a^3=-\left(b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow a^3=-\left[b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\right]\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-3bc\left(-a\right)=3abc\)

Mặt khác, ta lại có : \(a^3+b^3+c^3=0\left(gt\right)\Rightarrow3abc=0\Rightarrow abc=0\)

\(\Rightarrow a=0\)hoặc \(b=0\)hoặc \(c=0\)

Tu do de dang giai tiep bai toan!