Ta có \(12=3.4,\left(3,4\right)=1\)nên ta sẽ chứng minh tích các hiệu của hai trông bốn số đã cho chia hết cho \(4\)và \(3\).

- Chứng minh chia hết cho \(4\): 

+ Nếu có hai số nào trong bốn số có cùng số dư khi chia cho \(4\), giả sử là \(a,b\)thì \(a-b\)chia hết cho \(4\).

+ Nếu không có hai số nào trong bốn số đã cho có cùng số dư khi chia cho \(4\)thì ta có thể giả sử số dư của các số khi chia cho \(4\)lần lượt là \(3,2,1,0\).

Khi đó \(a-c⋮2,b-d⋮2\Rightarrow\left(a-c\right)\left(b-d\right)⋮4\).

Ta có đpcm.

- Chứng minh chia hết cho \(3\):

Trong bốn số đã cho chắc chắn có ít nhất hai trong bốn số đó có cùng số dư khi chia cho \(3\), giả sử là \(a,b\)thì \(a-b⋮3\).

Ta có đpcm. 

a, Ta có:

Đặt a=2k, b=2k+1

Suy ra ab(a+b)=2k(2k+1)(2k+2k+1) chia hết cho 2

Đặt a=2k+1; b=2k

Suy ra ab(a+b)=(2k+1)2k(2k+2k+1) chia hết cho 2

Đặt a=2k;b=2k

Suy ra ab(a+b)=2k.2k.4k chia hết cho 2

Đặt a=2k+1;b=2k+1

Suy ra ab(a+b)=(2k+1)(2k+1)(2k+1+2k+1)=2(2k+1)(2k+1)(2k+1) chia hết cho 2

Vậy ab(a+b) chia hết cho 2 với mọi a;b

Câu khác tương tự

câu c)  ab+ba=10a+b+10b+a

                    =11a+11b

                    =11(a+b)

vì 11 chia hết cho 11 nên 11(a+b) chia hết cho 11

       vậy ab+ ba chia hết cho 11

a) Khi chia 1 số tự nhiên cho 2, số dư có thể là 0  hoặc 1

=> Khi chia 3 số tự nhiên bất kì cho 2 số dư bằng một trong hai số 0; 1. 

=> 2 trong 3 số đó có cùng số dư => Hiệu của 2 số chia hết cho 2

b) Khi chia 1 số tự nhiên cho 5, số dư có thể là 0; 1; 2; 3; 4

=> Khi chia 6 số tự nhiên bất kì cho 5,  số dư  bằng1 trong 5 số 0; 1; 2; 3; 4.

=> Chắc chắn có 2 trong 6 số đó chia cho 5 có cùng số dư

=> Hiệu của chúng chia hết cho 5

Vậy...

bài trên đúng

Gọi a , b là 2 số chia cho m có cùng số dư

=> a = mk + r ( m là số chia, k là thương, r là số dư)

b = mt + r ( m là số chia, t là thương, r là số dư)

Khi đó a - b = (mk + r ) - (mt + r) = mk + r - mt - r

= mk - mt

= m( k - t)

Vì m chia hết cho m nên m(k - t ) chia hết cho m

hay a - b chia hết cho m

Vậy nếu a và b chia cho m có cùng số dư thì a - b chia hết cho m

(+) Chứng minh chiều thuận
Theo đề ra ta có 2 số thõa mãn là \(\begin{cases}km+x\\lm+x\end{cases}\) ( với k ; l ; m là số nguyên )

Xét hiệu :

\(\left(km+x\right)-\left(lm+x\right)=km-lm=m\left(k-l\right)⋮m\)

(+) Chứng minh chiều đảo :

Ta sẽ c/m bằng phương pháp phản chứng .

Giả sử a - b chia hết cho m ( 1 ) nhưng a và b không có cùng số dư khi chia cho m 

\(\Rightarrow\begin{cases}a=mk+x\\b=ml+y\end{cases}\)\(\left(k;m;x;y\in N;x,y< m;x\ne y\right)\)

=> Hiệu \(a-b=\left(mk+x\right)-\left(lk+y\right)\)

\(\Rightarrow a-b=m\left(lk-l\right)+\left(x-y\right)\)

Xét m(k - l ) chia hết cho m

x ; y < m

=> x - y < m

=> x - y không chia hết cho m

\(\Rightarrow m\left(lk-l\right)+\left(x-y\right)⋮̸m\) ( 2 )

(1) và (2) mâu thuẫn

=> Giả sử sai

=> Đpcm

Gia su :a÷m du r,b÷m cung du r ta co:

a=m×n+r

b=m×p+r

a-b=m×n+r-m×p+r=m×n-m×p=m×(n-p)

Trong do m chia het cho m nen khi nhan voi n-p se duoc 1 so chia het cho m.

lam chuyen