(+) Chứng minh chiều thuận
Theo đề ra ta có 2 số thõa mãn là \(\begin{cases}km+x\\lm+x\end{cases}\) ( với k ; l ; m là số nguyên )
Xét hiệu :
\(\left(km+x\right)-\left(lm+x\right)=km-lm=m\left(k-l\right)⋮m\)
(+) Chứng minh chiều đảo :
Ta sẽ c/m bằng phương pháp phản chứng .
Giả sử a - b chia hết cho m ( 1 ) nhưng a và b không có cùng số dư khi chia cho m
\(\Rightarrow\begin{cases}a=mk+x\\b=ml+y\end{cases}\)\(\left(k;m;x;y\in N;x,y< m;x\ne y\right)\)
=> Hiệu \(a-b=\left(mk+x\right)-\left(lk+y\right)\)
\(\Rightarrow a-b=m\left(lk-l\right)+\left(x-y\right)\)
Xét m(k - l ) chia hết cho m
x ; y < m
=> x - y < m
=> x - y không chia hết cho m
\(\Rightarrow m\left(lk-l\right)+\left(x-y\right)⋮̸m\) ( 2 )
(1) và (2) mâu thuẫn
=> Giả sử sai
=> Đpcm
Gia su :a÷m du r,b÷m cung du r ta co:
a=m×n+r
b=m×p+r
a-b=m×n+r-m×p+r=m×n-m×p=m×(n-p)
Trong do m chia het cho m nen khi nhan voi n-p se duoc 1 so chia het cho m.
+) Chứng minh chiều thuận
Theo đề ra ta có 2 số thõa mãn là {km+xlm+x{km+xlm+x ( với k ; l ; m là số nguyên )
Xét hiệu :
(km+x)−(lm+x)=km−lm=m(k−l)⋮m(km+x)−(lm+x)=km−lm=m(k−l)⋮m
(+) Chứng minh chiều đảo :
Ta sẽ c/m bằng phương pháp phản chứng .
Giả sử a - b chia hết cho m ( 1 ) nhưng a và b không có cùng số dư khi chia cho m
⇒{a=mk+xb=ml+y⇒{a=mk+xb=ml+y(k;m;x;y∈N;x,y<m;x≠y)(k;m;x;y∈N;x,y<m;x≠y)
=> Hiệu a−b=(mk+x)−(lk+y)a−b=(mk+x)−(lk+y)
⇒a−b=m(lk−l)+(x−y)⇒a−b=m(lk−l)+(x−y)
Xét m(k - l ) chia hết cho m
x ; y < m
=> x - y < m
=> x - y không chia hết cho m
⇒m(lk−l)+(x−y)⋮/m⇒m(lk−l)+(x−y)⋮̸m ( 2 )
(1) và (2) mâu thuẫn
=> Giả sử sai
=> Đpcm
