iả sử √22 là số hữu tỉ.

Vậy có thể viết √22 dưới dạng abab với a,bϵZ,b≠0a,bϵZ,b≠0 và (a;b)=1(a;b)=1 (1)

⇒a2b2=2⇒a2=2b2⇒a2b2=2⇒a2=2b2

⇒a⇒a chẵn . Đặt a=2ka=2k (kϵZkϵZ)

⇒4k2b2=2⇒4k2=2b2⇒b2=2k2⇒4k2b2=2⇒4k2=2b2⇒b2=2k2

⇒b⇒b chẵn . 

Vậy (a;b)≠1(a;b)≠1 trái với (1)

Vậy √22 là số vô tỷ.

Xin phép sửa lại đề: Chứng minh rằng \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ.

Giải:

Giả sử \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ.

Khi đó ta có: \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) \(m;n=1\)

\(\Rightarrow2=\frac{m^2}{n^2}\)

\(\Rightarrow2n^2=m^2\)

\(\Rightarrow m⋮n\) \(2;1=1\)

\(\Rightarrow\)Điều giả sử vô lý

\(\Rightarrow\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\sqrt{5}\)

=2,2360607978....

=> Số trên là 1 số có giá trị chính xác

Mà là 1 số có giá trị kéo dài

=> Nó là số vô tỉ

\(\sqrt{5}\)là số vô tỉ.

Chứng minh:

Vì 5 là một số nguyên tố nên chỉ có hai ước là 1 và 5.

Ở đây khi được tạo bởi 2 thừa số giống nhau, và chính nó là tích.                ( lí luận 1)

=> Hai thừa số đó là 1 số vô tỉ (là 1 số kéo dài)

Có thể nói 5 không là một số chính phương nào cả => \(\sqrt{5}\)cũng không là 1 số hữu tỉ mà là 1 số vô tỉ.               (lí luận 2)

vì 5 là số nguyên tố 

=> \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ

Giả sử căn 5 là số vô tỉ biểu thị bởi phân số tối giản \(\frac{p}{q}\)
=> \(\frac{p}{q}=\sqrt{5}\Rightarrow\frac{p^2}{q^2}=5\Rightarrow p^2=5q^2\)
Như vậy \(p^2\) chia hết cho 5 => p chia hết cho 5 => p= 5k 
Do đó \(25k^2=5q^2\Rightarrow q^2=5k^2\Rightarrow q^2⋮5\Rightarrow q⋮5\) chia hết cho 5 nên q chia hết cho 5 
Vì p;q chia hết cho 5 nên p/q không tối giản (mâu thuẫn với giả thiết) 
Vậy căn 5 là số vô tỉ

Ta giải bằng phương phap phản chứng .

Giả sử \(\sqrt{5}\) là số hữa tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{5}=\frac{a}{b}\left(a;b\in Z;\left(a;b\right)=1\right)\)

\(\Rightarrow5=\frac{a^2}{b^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{5}=b^2\)

Mà b là số nguyên

\(\Rightarrow a^2⋮5\)

Mặt khác 5 là số nguyên tố

\(\Rightarrow a^2⋮25\)

Ta lại có

\(a^2=5b^2\)

\(\Rightarrow5b^2⋮25\)

\(\Rightarrow b^2⋮5\)

Ta có

a^2 chia hết cho 5 ; b^2 chia hết cho 5

=> \(ƯC_{\left(a;b\right)}=5\)

Trái với giả thiết

=> giả sử sai

Vậy căn 5 là số vô tỉ

giả sử √5 là số hữu tỉ 
=> √5 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 
=> 5 = a²/b² 
<=> a² = 5b² 
=> a² ⋮ 5 
5 nguyên tố 
=> a ⋮ 5 
=> a² ⋮ 25 
=> 5b² ⋮ 25 
=> b² ⋮ 5 
=> b ⋮ 5 
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 
=> giả sử sai 
=> √5 là số vô tỉ

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{x^2y^2z^2}\)(1) với x+y+z=0. Bạn quy đồng vế trái (1) dc \(\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(x+y+z\right)xyz}{x^2y^2z^2}\)

\(\sqrt{4}=2\)

Mà 2 thuộc tập hợp Z . Tất cả số nằm trong N , Z và một số phân số khác đều thuộc Q

=> 2 thuộc Q

=> 2 là số hữu tỉ ( vì Q là tập hợp số hữu tỉ ) 

Ta có: \(\sqrt{4}\)=\(\sqrt{2^2}\)=2

Do đó: 2 \(\in\)Q nên \(\sqrt{4}\) là 1 số hữu tỉ

Lời giải:
$x$ là số hữu tỉ khác $0$. Đặt $x=\frac{a}{b}$ với $a,b$ là số nguyên, $b\neq 0$.

Giả sử $x+y$ là số hữu tỉ. Đặt $x+y=\frac{c}{d}$ với $c,d\in\mathbb{Z}, d\neq 0$

$\Rightarrow y=\frac{c}{d}-x=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{bc-ad}{bd}$ là số hữu tỉ (do $bc-ad, bd\in\mathbb{Z}, bd\neq 0$)

Điều này vô lý do $y$ là số vô tỉ.

$\Rightarrow$ điều giả sử là sai. Tức là $x+y$ vô tỉ.

Hoàn toàn tương tự, $x-y$ cũng là số vô tỉ.

-------------------------------

Chứng minh $xy$ vô tỉ.

Giả sử $xy$ hữu tỉ. Đặt $xy=\frac{c}{d}$ với $c,d$ nguyên và $d\neq 0$

$\Rightarrow y=\frac{c}{d}:x=\frac{c}{d}:\frac{a}{b}=\frac{bc}{ad}\in\mathbb{Q}$

Điều này vô lý do $y\not\in Q$

$\Rightarrow$ điều giả sử là sai $\Rightarrow xy$ vô tỉ.

-------------------------------

CM $\frac{x}{y}$ vô tỉ.

Giả sử $\frac{x}{y}$ hữu tỉ. Đặt $\frac{x}{y}=\frac{c}{d}$ với $c,d$ nguyên, $d\neq 0$

$\Rightarrow y=x:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}: \frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}\in\mathbb{Q}$

Điều này vô lý do $y\not\in Q$

$\Rightarrow$ điều giả sử là sai. Tức là $\frac{x}{y}$ vô tỉ.

Giả sử √a là số hữu tỉ thì √a viết được thành √a = m/n với m, n ∈ N, (n ≠ 0) và ƯCLN (m, n) = 1

Do a không phải là số chính phương nên m/n không phải là số tự nhiên, do đó n > 1.

Gọi p là một ước nguyên tố của n thì m2 ⋮ p, do đó m ⋮ p. Như vậy p là ước nguyên tố của m và n, trái với giả thiết ƯCLN (m, n) = 1. Vậy √a là số vô tỉ.