Giả sử căn 5 là số vô tỉ biểu thị bởi phân số tối giản \(\frac{p}{q}\)
=> \(\frac{p}{q}=\sqrt{5}\Rightarrow\frac{p^2}{q^2}=5\Rightarrow p^2=5q^2\)
Như vậy \(p^2\) chia hết cho 5 => p chia hết cho 5 => p= 5k
Do đó \(25k^2=5q^2\Rightarrow q^2=5k^2\Rightarrow q^2⋮5\Rightarrow q⋮5\) chia hết cho 5 nên q chia hết cho 5
Vì p;q chia hết cho 5 nên p/q không tối giản (mâu thuẫn với giả thiết)
Vậy căn 5 là số vô tỉ
Ta giải bằng phương phap phản chứng .
Giả sử \(\sqrt{5}\) là số hữa tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{5}=\frac{a}{b}\left(a;b\in Z;\left(a;b\right)=1\right)\)
\(\Rightarrow5=\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{5}=b^2\)
Mà b là số nguyên
\(\Rightarrow a^2⋮5\)
Mặt khác 5 là số nguyên tố
\(\Rightarrow a^2⋮25\)
Ta lại có
\(a^2=5b^2\)
\(\Rightarrow5b^2⋮25\)
\(\Rightarrow b^2⋮5\)
Ta có
a^2 chia hết cho 5 ; b^2 chia hết cho 5
=> \(ƯC_{\left(a;b\right)}=5\)
Trái với giả thiết
=> giả sử sai
Vậy căn 5 là số vô tỉ
giả sử √5 là số hữu tỉ
=> √5 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0)
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1
=> 5 = a²/b²
<=> a² = 5b²
=> a² ⋮ 5
5 nguyên tố
=> a ⋮ 5
=> a² ⋮ 25
=> 5b² ⋮ 25
=> b² ⋮ 5
=> b ⋮ 5
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử)
=> giả sử sai
=> √5 là số vô tỉ
