\(a.\) Ta có: \(\widehat{B}=2\widehat{C}\)suy ra \(\widehat{C}=\frac{\widehat{B}}{2}\)                                                    \(\left(1\right)\)
Vì \(BD\)là tia phân giác của \(\widehat{B}\)suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\frac{\widehat{B}}{2}\)                \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\widehat{C}\)
- Xét \(\Delta ABD\)có     \(\widehat{ADB}+\widehat{DBA}+\widehat{BAD}=180^0\)(đ/lý tồng 3 góc trong cùng 1 tam giác)
                         \(\Rightarrow\)\(\widehat{ADB}+\widehat{BAD}=180^0-\widehat{DBA}\)
- Xét \(\Delta ABC\)có       \(\widehat{BAC}+\widehat{ACB}+\widehat{CBA}=180^0\)
                         \(\Rightarrow\) \(\widehat{BAC}+\widehat{CBA}=180^0-\widehat{ACB}\)
        mà  \(\widehat{ACB}=\widehat{ABD}\)(cmt)     suy ra  \(\widehat{BAC}+\widehat{CBA}=\widehat{ADB}+\widehat{BAD}\)

- Xet  \(\Delta ABD\)có  \(\widehat{ABE}\)là góc ngoài tại đỉnh \(B\)
                     suy ra  \(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}+\widehat{BAD}\) 
- Xet  \(\Delta ABC\)có  \(\widehat{ACK}\)là góc ngoài tại đỉnh \(C\)
                     suy ra  \(\widehat{ACK}=\widehat{ABC}+\widehat{BAC}\) 
    mà    \(\widehat{BAC}+\widehat{CBA}=\widehat{ADB}+\widehat{BAD}\)        \(\Rightarrow\)đpcm

\(b.\)  Xét  \(\Delta AEB\)và  \(\Delta KCA\) có:     \(AB=CK\)         ( gt )
                                                             \(\widehat{ABE}=\widehat{ACK}\)      ( cmt )
                                                                \(EB=AC\)          ( gt )
                   Do đó  \(\Delta AEB\)\(=\)\(\Delta KCA\) (c.g.c)

Vì BD là phân giác góc B=>ABD=1/2 góc B                                                            Vì B=2C=>ACB=1/2 góc B                                                                                          =>ABD=ACB                                                                                                  Vì ABD và ABE là 2 góc kề bù=>.....+.....=180 độ                                                    Vì ACB và ACK là 2 góc kề bù=>.....+.....=180 độ                                                     =>ACK=ABE                                                                                                             Xét tam giác ABE với tam giác ACK (c.g.c)                                                               =>AE=AK(đpcm)

a) Xét \(\Delta\)BAE và \(\Delta\)DAC có: ^BAE = ^DAC ( đối đỉnh ) ; AD = AB ( gt ) ; AE = AC ( gt )

=> \(\Delta\)BAE = \(\Delta\)DAC ( c.g.c)

=> BE = DC 

b) Tương tự câu a dễ dàng cm đc: \(\Delta\)ADE = \(\Delta\)ABC => ^ADE = ^ABC => DE//BC

=> ^EDI = ^DIC  mà ^EDI = ^BDI  ( DI là phân giác ^BDE ) 

=> ^DIC = ^BDI hay ^DIB = ^IDB => \(\Delta\)BDI cân tại B.

c) Ta có: ^DBC là góc ngoài tại đỉnh B của \(\Delta\)BDI => ^DBC = ^BDI + ^BID  = 2. ^BID  = 2. ^CIF( theo b) (1)

Có: CF là phân giác ^BCA =>^BCF = ^ACF => ^BCA = ^BCF + ^ACF = 2. ^BCF = 2. ^ICF  (2)

Lại có: ^CFD  là góc ngoài của \(\Delta\)FCI  => ^CFD = ^CIF + ^ICF  (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => 2 .^CFD = 2 ^CIF + 2. ^ICF = ^DBC + ^BCA = ^DBC + ^CED  (  ^CED = ^BCA  vì ED //BC )

098765432rtyuiorewerio65yuy5t

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

098ytrewq

Ta có: BD là phân giác ^ABC (gt).

=> 2^ABD = 2^DBC = ^ABC.

Mà ^ABC = 2^ACB (gt).

=> ^ABD = ^DBC = ^ACB.

Ta có: ^ABE = 180^o - ^ABD.

          ^KCA = 180^o - ^ACB.

Mà ^ABD = ^ACB (cmt).

=> ^ABE = ^KCA.

Xét tam giác ABE và tam giác KCA có:

+ ^ABE = ^KCA (cmt).

+ AB = KC (gt).

+ BE = CA (gt).

=> Tam giác ABE = Tam giác KCA (c - g - c).

=> AE = KA (2 cạnh tương ứng).