Xét ∆ABC có :

AM = MB 

BN = NC 

=> MN là đương trung bình ∆ABC 

=> MN //AC (1)

Xét ∆ADC có :

AQ = QD 

=> PQ //AC (2)

Từ (1) và (2) ta có :

MN //PQ (3) .

CMTT ta có : 

MQ // NP (4)

=> Từ (3) và (4) ta có :

=> MNPQ là hình bình hành (dpcm)

a. ΔABC có : AM=MB (gt)
BN=NC (gt) 
=> MN là đường trung bình của ΔABC 
=>MN//AC(1)
ΔADC có : AQ=QD(gt)
CP=PD(gt)
=>PQ là đường trung bình của ΔADC 
=>PQ//AC(2)
Từ (1) và (2) => MN//PQ (3)
CMTT ta có : MQ//NP(4)
Từ (3) và (4)=> MNPQ là hình bình hành 
b. MNPQ là hình chữ nhật <=> Góc M1 = 90°
Mà MN//AC => góc K1 = 90°
NP//MQ => góc O1 = 90° 
hay AC⊥BD 
Vậy tứ giác ABCD có AC⊥BD thì MNPQ là hình chữ nhật(Vẽ hình hơi lỗi :v)

a, Xét \(\Delta ABD\)

\(O\)là trung điểm của \(AD\left(1\right)\)

\(M\)là trung điểm của \(AB\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow OM\)là  đường trung bình của \(\Delta ABD\)

\(\Rightarrow MO=\frac{1}{2}BD\left(3\right)\)

Tt : \(\Delta DCB\)

\(\Rightarrow PN=\frac{1}{2}BD\left(4\right)\)

\(Tt:MN=OP=\frac{1}{2}AC\left(5\right)\)

Từ \(\left(3\right),\left(4\right),\left(5\right)\Rightarrow MNPO\)

là hình bình hành 

tgiác ABC có MN là đường trung bình => MN // AC và MN = AC/2 
tgiác DAC có PQ là đường trung bình => PQ // AC và PQ = AC/2 
vậy: MN // PQ và MN = PQ => MNPQ là hình bình hành 

mặt khác xét tương tự cho hai tgiác ABD và CBD ta cũng có: 
NP // BD và NP = BD/2 
do giả thiết AC_|_BD => AC_|_NP mà MN // AC => MN_|_NP 

tóm lại MNPQ là hình chữ nhật (hbh có một góc vuông) 

http://lazi.vn/edu/exercise/cho-tu-giac-abcd-goi-m-n-p-q-lan-luot-la-trung-diem-cua-cac-canh-ab-cd-ad-bc-chung-minh-vecto-mp-qn-mq-pn . Bạn vào link này nhé

1: Xét ΔABC có BM/BA=BN/BC=1/2

nên MN//AC và MN=1/2AC

Xét ΔADC có DP/DC=DQ/DA

nên QP//AC và QP/AC=DP/DC=1/2

=>QP=1/2AC

=>MN//PQ và MN=PQ

Xét ΔABD có AM/AB=AQ/AD=1/2

nên MQ/BD=AM/AB=1/2

=>MQ=1/2BD

Xét ΔCBD có CP/CD=CN/CB=1/2

nên NP=1/2BD

=>MQ=NP=1/2BD

mà BD=AC

nên MQ=NP=QP=MN

2: Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

MN=MQ

=>MNPQ là hình thoi

Vì M,N lần lượt là trung điiểm của AB và AC (tgt)

=> MN // BC và MN = 1/2 BC (t/c)đường TB của tam giác)(1)

Vì P,Q l³ trung điểm của  CD và BD 

=> PQ//BC và PQ=1/2 BC (t/c đg Tb ...)(2)

Từ (1)và(2) => MN//PQ và MN = PQ

=> MNPQ là hbh

a: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC

nên MN//AC và MN=AC/2

Xét ΔDAC có DP/DC=DQ/DA

nên PQ//AC và PQ=AC/2

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

b: Để MNPQ là hình thoi thì MN=MQ

=>AC=BD

1. Ta co 
la duong trung binh cua tam giac ABD 
=> MQ//BD, MQ= 0,5BD (1) 
Ta lai co NP la dg trung binh cua tam giac BCD 
=> NP//BD, NP=0,5 BD (2) 
Tu (1) va (2)=> MNPQ la hinh binh hanh 
Ta lai co QP=0,5 AC (vi la dg trung binh) 
ma ABCD la hinh thang can => AC=BD=> MQ=QP 
=>MNQP la hinh thoi 
b,Goi AH la duong cao cua hinh thang 
ta co QN la dg trung binh cua hinh thang ABC=> QN=(AB+DC):2 
MP la truc doi xung cua hinh thang ABCD=>MP vuong goc voi DC 
=> MP=AH 
=> S MNPQ= (MN.QN):2=> S MNPQ se bang 1/2 S ABCD 
=> S MNPQ=15 cm^2 

2. 

các bạn giúp mình nhé mai mình phải nộp bài rùi :((