Ta có : \(\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b\)                                              (1)

          : \(\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)                  ( 2 )

Với a , b dương nên \(2\sqrt{ab}>0\) ,do đó từ ( 1) và ( 2 ) suy ra : 

 \(\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)hay \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)=> đpcm

Ta có : 

\(1>\frac{1}{10}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(............\)

\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\Rightarrow\)\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Do từ \(1\) đến \(100\) có \(100-1+1=100\) số tự nhiên nên có \(100\) phân số \(\frac{1}{\sqrt{100}}\) ta được : 

\(A>100.\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{100}{\sqrt{100}}=\frac{100}{10}=10\)

\(\Rightarrow\)\(A>10\) ( đpcm ) 

Vậy \(A>10\)

Chúc bạn học tốt ~ 

\(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b< a+b+2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}>0\left(luondung\right)\)

Vậy ta có đpcm

a: \(A=a-\sqrt{a}=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)\)

Vì a>1 nên \(\sqrt{a}-1>0\)

=>A>0

hay \(a>\sqrt{a}\)

b: \(A=a-\sqrt{a}=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)\)

Vì a<1 nên \(\sqrt{a}-1< 0\)

=>A<0

hay \(a< \sqrt{a}\)

Áp dụng BĐT Bunhia:

\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{3.\left(4\left(a+b+c\right)+3\right)}=\sqrt{21}< \sqrt{25}=5\)

Vậy \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}< 5\)