a) \(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2x+2}\)

Điều kiện: \(\hept{\begin{cases}x+3\ge0\\x-1\ge0\\2x+2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-3\\x\ge1\\x\ge-1\end{cases}\Leftrightarrow x\ge1}\)

    \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{2x+2}\right)^2\)

     \(\Leftrightarrow x+3-2\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}+x-1=2x+2\)

     \(\Leftrightarrow2x+2-2\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}=2x+2\)

     \(\Leftrightarrow-2\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}=0\)

     \(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0\)

      \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+3=0\\x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-3\left(l\right)\\x=1\left(n\right)\end{cases}}\)

Vậy \(S=\left\{1\right\}\)

ĐKXĐ : \(x\ge\sqrt{3}\)

\(\sqrt{3x+\sqrt{3}}-\sqrt{x-\sqrt{3}}=2\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow3x+\sqrt{3}-2\sqrt{\left(3x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}+x-\sqrt{3}=4x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(3x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x+\sqrt{3}=0\\x-\sqrt{3}=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-\sqrt{3}}{3}\left(ktm\right)\\x=\sqrt{3}\left(tm\right)\end{cases}}}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=\sqrt{3}\)

đk: \(x\ge\sqrt{3}\)

Ta có: \(\sqrt{3x+\sqrt{3}}-\sqrt{x-\sqrt{3}}=2\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow3x+\sqrt{3}-2\sqrt{\left(3x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}+x-\sqrt{3}=4x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(3x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x+\sqrt{3}=0\\x-\sqrt{3}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\left(ktm\right)\\x=\sqrt{3}\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy \(x=\sqrt{3}\)

ĐKXĐ: \(x\ge\sqrt{3}\)

\(\sqrt{3x+\sqrt{3}}=2\sqrt{x}+\sqrt{x-\sqrt{3}}\)

+) Xét \(2\sqrt{x}=\sqrt{x-\sqrt{3}}\Rightarrow4x=x-3\Leftrightarrow x=-1\)---> Không thỏa ĐKXĐ

Vậy \(2\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}\ne0\)---> Ta dùng lượng liên hiệp:

\(\sqrt{3x+\sqrt{3}}=\frac{\left(2\sqrt{x}+\sqrt{x-\sqrt{3}}\right)\left(2\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}\right)}{2\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}=\frac{4x-\left(x-\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}\)

\(\sqrt{3x+\sqrt{3}}=\frac{3x+\sqrt{3}}{2\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}\Leftrightarrow\sqrt{3x+\sqrt{3}}\left(1-\frac{\sqrt{3x+\sqrt{3}}}{2\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}\right)=0\)

Vì \(x\ge\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{3x+\sqrt{3}}>0\Rightarrow1-\frac{\sqrt{3x+\sqrt{3}}}{2\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}=0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}=\sqrt{3x+\sqrt{3}}\Rightarrow3x+\sqrt{3}-4\sqrt{x}.\sqrt{x-\sqrt{3}}=3x+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}.\sqrt{x-\sqrt{3}}=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\sqrt{3}\end{cases}}\)

Vì x = 0 không thỏa ĐKXĐ vậy PT nhận nghiệm duy nhất là \(x=\sqrt{3}\)

Điều kiện \(x\ge-1\)

Phương trình đã cho tương đương với

\(\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+4\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+4\sqrt{x+1}+1+3\left(x+1\right)+1=\sqrt[3]{3x+4}+\left(\sqrt[3]{3x+4}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}+1\right)^2+\left(\sqrt{x+1}+1\right)=\left(\sqrt[3]{3x+4}\right)^3+\sqrt[3]{3x+4}\) (*)

Xét hàm số f(t) =t³+t trên R

                   f'(t)=3t²+1>0 với mọi x \(\in\)R

Nên (*) \(\Leftrightarrow f\left(\sqrt{x+1}+1\right)=f\left(\sqrt[3]{3x+4}\right)\Leftrightarrow\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\sqrt{x+1}\\y=\sqrt[3]{3x+4}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u+1=v\\3u^2+1=v^3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v^3=3\left(v-1\right)^2+1\Leftrightarrow v^3-1-3\left(v-1\right)^2=0\Leftrightarrow v=1\)

Với v=1 => x=-1

Vậy x=-1 là nghiệm của phương trình

Lời giải:

a) Đặt \(x^3=a\) thì pt trở thành:

\(a^2+2003a-2005=0\)

\(\Leftrightarrow (a+\frac{2003}{2})^2=2005+\frac{2003^2}{2^2}=\frac{4020029}{4}\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+\frac{2003}{2}=\sqrt{\frac{4020029}{4}}\\ a+\frac{2003}{2}=-\sqrt{\frac{4020029}{4}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=\sqrt{\frac{4020029}{4}}-\frac{2003}{2}\approx 1\\ a=-\sqrt{\frac{4020029}{4}}-\frac{2003}{2}\approx -2004\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\sqrt[3]{a}\approx 1\\ x=\sqrt[3]{a}\approx \sqrt[3]{-2004}\end{matrix}\right.\)

b)

Đặt \(x^2=a(a\geq 0)\)

PT trở thành: \(\sqrt{2}a^2-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})a+\sqrt{12}=0\)

\(\Delta'=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-\sqrt{2}.\sqrt{12}=5\)

Theo công thức nghiệm của pt bậc 2 thì pt có 2 nghiệm:

\(\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\ a_2=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)

Do đó \(x=\pm \sqrt{a}\in\left\{\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}};\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}\right\}\)

Câu 2:

Đặt \(x^2=a\). PT ban đầu trở thành:

\(a^2+a+m=0(*)\)

\(\bullet \)Để pt ban đầu có 3 nghiệm pb thì $(*)$ phải có một nghiệm $a=0$ và một nghiệm $a>0$

Để $a=0$ là nghiệm của $(*)$ thì \(0^2+0+m=0\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó: \((*)\Leftrightarrow a^2+a=0\). Ta thấy nghiệm còn lại là $a=-1< 0$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ để pt ban đầu có 3 nghiệm pb.

\(\bullet\) Để pt ban đầu có 4 nghiệm pb thì $(*)$ phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Mà theo định lý Viete, nếu $(*)$ có 2 nghiệm pb $a_1,a_2$ thì:\(a_1+a_2=-1< 0\) nên 2 nghiệm không thể đồng thời cùng dương.

Vậy không tồn tại $m$ để pt ban đầu có 4 nghiệm phân biệt.