a) Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (I;r) với MN,PQ,RS; T,U,V lần lượt là tiếp điểm của (I;r) với BC,AC,AB

Xét đường tròn (I;r) có hai tiếp tuyến tại D và U cắt nhau tại M \(\Rightarrow MD=MU\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Tương tự, ta cũng có: \(SU=SF;\)\(RF=RT;\)\(QT=QE;\)\(PE=PV;\)\(NV=ND\)

Mà \(P_1=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MU+NV\)(1)

\(P_2=BP+BQ+PQ=BP+BQ+PE+QE=BP+BQ+PV+QT\)(2)

\(P_3=CS+CR+SR=CS+CR+SF+RF=CS+SR+RT+SU\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow P_1+P_2+P_3=AM+AN+MU+NV+BP+BQ+PV+QT+CS+CR+RT+SU\)

\(=AM+AN+BP+BQ+CS+CR+\left(MU+SU\right)+\left(RT+QT\right)+\left(PV+NV\right)\)

\(=AM+AN+BP+BQ+CS+CR+MS+RQ+NP\)

\(=\left(AM+CS+MS\right)+\left(AN+BP+NP\right)+\left(BQ+QR+RC\right)\)

\(=AC+AB+BC=P\)

Vậy đẳng thức được chứng minh

ta có biến đổi góc như sau

\(\widehat{BIK}=\frac{1}{2}\widehat{A}+\frac{1}{2}\widehat{B}=\widehat{KAC}+\widehat{IBC}=\widehat{KBC}+\widehat{IBC}=\widehat{IBK}\)

=> tam giác BKI cân tại K nên KB =KI = KC

Hay K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC 

a) Do E , F là các tiếp điểm của (I) zới AC , AB nên \(\widehat{EFD\:=}\widehat{CED},\widehat{FED}=\widehat{BFD},EF//PQ\)

=>\(\widehat{EFD}=\widehat{AQF},\widehat{FED}=\widehat{APE}.\) mặt khác \(\widehat{PEA}=\widehat{CED},\widehat{AQF}=\widehat{BFD}\)suy ra tam giác FQA\(_{\simeq}\)tam giác PEA (g.g)

=>\(\frac{QA}{EA}=\frac{AF}{AP}=>AP.AQ=AE.FA=AE^2\)

hay \(\frac{BK\left(AB+AC\right)}{BC}\ge2BK\Leftrightarrow\frac{AB+AC}{BC}\ge2\)khi tam giác ABC đều thì \(\frac{AB+AC}{BC}=2\). Zậy GTNN của\(\frac{AB+AC}{BC}=2\)

b)ÁP dụng dịnh lý Ptolemy cho tứ giác ABKC

ta có \(AK.BC=AB.Ck=Bk\left(AB+AC\right)\)

tam giác AOD cân \(\widehat{AOI}\le90^0\Leftrightarrow IA\ge IK\Leftrightarrow IA+IK\ge2IK\Leftrightarrow AK\ge2IK\)suy ra\(\frac{BK\left(AB+AC\right)}{BC}\ge2IK\)

thầy cô tích cho em di ạ . em cố gắng để giải bài này r