2) Chứng minh  N B 2 = N K . N M .

Ta có N là điểm chính giữa cung  B C ⏜   ⇒ B N ⏜ = C N ⏜   ⇒ B M N ^ = C M N ^   (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Mà  C B N ^ = C M N ^ (góc nội tiếp chắn cùng chắn cung  C N ⏜ )

C B N ^ = B M N ^ (cùng bằng góc  C M N ^ )  ⇒ K B N ^ = B M N ^

Xét  Δ K B N   v à   Δ B M N có:

N ^ chung

K B N ^ = B M N ^

⇒ Δ K B N ∽ Δ B M N ⇒ K N B N = B N M N ⇒ N B 2 = N K . N M

(điều phải chứng minh).

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Ta có  A B C ^ = A N C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung A C ⏜ )

Mà A M C ^ = A H I ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung I C ⏜ )

⇒ A B C ^ = I K C ^  Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên  H B / / I K  (1)

+ Chứng minh tương tự phần 1 ta có tứ giác AMHI nội tiếp

A N C ^ = I K C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  A I ⏜ )

Ta có  A B C ^ = A M C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  A C ⏜ )

⇒ A B C ^ = A H I ^  Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên  B K / / H I  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHIK là hình bình hành.

Mặt khác AN, CM  lần lượt là các tia phân giác của các góc A và C  trong tam giác ABC nên I là giao điêm 3 đường phân giác, do đó BI là tia phân giác góc B

Vậy tứ giác BHIK là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

Ta có M là điểm chính giữa cung A B ⏜ ⇒ A M ⏜ = B M ⏜ ⇒ M N A ^ = M C B ^  

⇒ K N I ^ = I C K ^ . Tứ giác CNKJ có C và N là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh KJ dưới góc bằng nhau nên CNKJ nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Do đó bốn điểm C, N, K, I  cùng thuộc một đường tròn.

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên DN là trung trực của BC nên DN là phân giác  B D C ^

Ta có  K Q C ^ = 2 K M C ^  (góc nọi tiếp bằng nửa góc ở tâm trong dường tròn (Q))

N D C ^ = K M C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  N C ⏜ )

Mà  B D C ^ = 2 N D C   ^ ⇒ K Q C ^ = B D C ^

Xét 2 tam giác BDC & KQC là các các tam giác vuông tại D và Q có hai góc ở  ⇒ B C D ^ = B C Q ^  do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ//PK

Chứng minh tương tự ta có  ta có D, P, B thẳng hàng và DQ//PK

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).