Question

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Answer 1

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Ta có  A B C ^ = A N C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung A C ⏜ )

Mà A M C ^ = A H I ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung I C ⏜ )

⇒ A B C ^ = I K C ^  Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên  H B / / I K  (1)

+ Chứng minh tương tự phần 1 ta có tứ giác AMHI nội tiếp

A N C ^ = I K C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  A I ⏜ )

Ta có  A B C ^ = A M C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  A C ⏜ )

⇒ A B C ^ = A H I ^  Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên  B K / / H I  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHIK là hình bình hành.

Mặt khác AN, CM  lần lượt là các tia phân giác của các góc A và C  trong tam giác ABC nên I là giao điêm 3 đường phân giác, do đó BI là tia phân giác góc B

Vậy tứ giác BHIK là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).