a, Chứng minh được  B K A ^ = 90 0

b, Gọi O là trung điểm AI

Ta có:

+ OK = OA =>  O K A ^ = O A K ^

+  O A K ^ = H B K ^ (cùng phụ  A C B ^ )

+ HB = HK =>  H B K ^ = H K B ^

=> O K A ^ = H K B ^ ⇒ H K O ^ = 90 0

a: Vì góc AKI=90 độ

nên K nằm trên đường tròn đường kính AI

b: Gọi G là trung điểm của AK

góc GKH=góc GKI+góc HKI

=góc GIK+góc HBI

=góc BIH+góc HBI=90 độ

=>HK là tiếp tuyến của (G)

Bạn tham khảo nhé!

bài 1 đề bài có sai ko?

Đề đúng nha bạn

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

Trên KC lấy điểm M sao cho MC = MK.Nối M với H. Xét tam giác KHC có: I,M lần lượt là trung điểm của HK, KC =>MI là đường trung bình của tam giác =>IP//HC mà AH vuông góc với HC(gt) nên IM là hai đường cao của của tam giác AHM. Xét tam giác AHM có: HK, IP là hai đường cao của tam giác; HK cắt IM tại I => I là trực tâm tam giác => AI là đường cao ứng với cạnh HM.=> AI vuông góc với HM(1). Xét tam giác BCK có: M,H lần lượt là trung điểm của KC,BC => MH là đường trung bình của tam giác =>MH song song với BK(2). Từ (1)và(2)=>AI vuông góc với BK(đpcm)

Tham khảo

a.Xét ΔAHB,ΔAHC có:

Chung AHAH

ˆAHB=ˆAHC(=90o)

AB=AC

→ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

→HB=HC

→H là trung điểm BC

Mà K là trung điểm AC 

Do AH∩BK=G

→G là trọng tâm ΔABC

a.Xét ΔAHB,ΔAHCΔAHB,ΔAHC có:

Chung AHAH

ˆAHB=ˆAHC(=90o)AHB^=AHC^(=90o)

AB=ACAB=AC

→ΔAHB=ΔAHC→ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

→HB=HC→HB=HC

→H→H là trung điểm BCBC

Mà KK là trung điểm ACAC 

Do AH∩BK=GAH∩BK=G

→G→G là trọng tâm ΔABC