\(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{c}}\Rightarrow\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^3=\dfrac{1}{\sqrt{c}^3}\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{a}^3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}^3}+\dfrac{3}{\sqrt{a}.\sqrt{b}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)-\dfrac{1}{\sqrt{c}^3}=0\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{a}^3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}^3}+\dfrac{3}{\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}}-\dfrac{1}{\sqrt{c}^3}=0\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{c}^3}-\dfrac{1}{\sqrt{a}^3}-\dfrac{1}{\sqrt{b}^3}=\dfrac{3}{\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}}\)

\(\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}\left(\dfrac{1}{\sqrt{c}^3}-\dfrac{1}{\sqrt{b}^3}-\dfrac{1}{\sqrt{a}^3}\right)=3\)

\(\dfrac{\sqrt{ab}}{c}-\dfrac{\sqrt{bc}}{a}-\dfrac{\sqrt{ca}}{b}=3\left(\text{đ}pcm\right)\)

Ta có: a + b + c = 2 nên \(2c+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=ac+bc+c^2+ab\)

\(=\left(ca+c^2\right)+\left(bc+ab\right)=c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)\)\(=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\)(Vì a,b,c thực dương)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2c+ab}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)(cmt)

\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{a+c}\right)\)(nhân 2 vế cho ab thực dương)    (1)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\frac{1}{b+c}=\frac{1}{c+a}\Leftrightarrow b+c=c+a\Leftrightarrow a=b\))

Tương tự ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{a+c}\right)\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow b=c\))  (2)

\(\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{b+a}\right)\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=c\))  (3)

Cộng các BĐT (1) , (2) , (3), ta được:

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{b+a}+\frac{cb}{c+a}+\frac{ac}{b+a}+\frac{ac}{c+b}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{a\left(c+b\right)}{c+b}+\frac{c\left(b+a\right)}{b+a}\right)\)

\(\le\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)

Vậy \(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}\)\(+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\)\(+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le1\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\))

Ta có:

\(\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\frac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\)

Tương tự:

\(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)

\(\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{b+a}\)

Khi đó:

\(P\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{b+a}\)

\(=\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{c\left(a+b\right)}{b+a}\)

\(=a+b+c=2\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Á á lộn rồi:(

\(\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)\) nha !!

\(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)

\(\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{b+a}\right)\)

Khi đó:

cộng lại rồi làm tương tự

đề này thiếu r` bn viết lại đi mai mk lm cho

Xét \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\) = \(\sqrt{\left(a^2+2ab+b^2\right)-3ab}\) = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2-3ab}\)

     >= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2-\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}\)( bđt ab <= (a+b)^2/4) = 1/2 (a+b)

Tương tự căn (b^2-bc+c^2) >= 1/2(b+c) ; (c^2-ca+a^2) >= 1/2 (c+a)

=> B >= 1/2 . (a+b+b+c+c+a) = 1/2 . 2 . (a+b+c) = 1 => ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/3

Đặt \(THANG=\frac{\left(b+c\right)\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}\sqrt{c^2+1}}\)

\(=\frac{\left(b+c\right)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)

\(=\frac{\left(b+c\right)\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=\frac{\left(b+c\right)}{\sqrt{\left(b+c\right)}\sqrt{\left(b+c\right)}}=\frac{\left(b+c\right)}{\sqrt{\left(b+c\right)^2}}\)

\(=\frac{b+c}{b+c}=1\left(b,c\in R^+\right)\)

chứng minh bằng 1

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}>=ab+bc+ca\)

bài này dễ thôi

Ta có: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)

khi đó:

\(P\le\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+c\right)}\)

\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)

Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)=> \(\frac{2}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1

Vậy max P = 3 tại a = b = c =1.

Không thích làm cách này đâu nhưng đường cùng rồi nên thua-_-

Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{y+z}=b;\sqrt{z+x}=c\) suy ra

\(x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2};y=\frac{a^2+b^2-c^2}{2};z=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\). Ta cần chứng minh:

\(abc\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có đpcm.

Mình viết trên điện thoại có gì sai thông cảm Ta có ab+bc+ac=1

Thì \({\sqrt{1-a^2}}\) 

=\({\sqrt{ab+bc+ac+a^2}}\) 

= \({\sqrt{(b+a)(a+c)}}\) \(≤{b+2a+c\over2}\)  

Thì a/ căn của (1-a^2) ≥ 2a/(b+2a+c)

Tương tự với cách trên thì

b/  căn của (1-b^2)≥ 2b/(a+2b+c)

Và c/ căn của (1-c^2)≥2c/(a+b+2c)

Bạn cộng ba cái đó lại đặt là (1) rồi làm tiếp

Ta có bài toán phụ

\( {1\over {a+b}}≤ {{a+b}\over4ab}\) 

\(= {1\over4}({1\over a}+{1\over b})\) 

Tách 2a;2b;2c ở từng mẫu rồi áp dụng công thức trên ta đc

(1) \(≤{2a{.1 \over 4}({1\over b+a}+{1\over a+c}})\) +2b (viết tương tự như cái này vì mình viết điện thoại hiư lâu bạn viết tiếp nhá viết tới cái 2c nhân với 1/4 và cái tổng rồi) + 

\( {2a\over b+a}+{2a\over a+c}+{2b\over b+a}+{2b\over b+c}+{2c\over a+c}+{2c\over b+c}\) 

= 1/4×{[(2a+2b)/(a+b)]+[(2a+2c)/(a+c)]+[(2b+2c)/b+c]}

=1/4 ×(2+2+2)

= 3/2

Vậy Max của S =3/4 khi a=b=c=1/4

Chúc bạn học tốt

Bạn dợi mình học đi thêm về rùi chụp lên cho