cho a,b,c là các số thực dương tm abc=1
cmr \(\frac{a}{a^2+5}\) \(+\frac{b}{b^2+5}+\frac{c}{c^2+5}\le\frac{1}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương tm: abc=1
CMR:
\(\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le\frac{1}{2}\)
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)
Cần chứng minh \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le1\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+abc-4\ge0\)
BĐT trên đúng theo AM-GM nên ta có đpcm.
shitbo Dùng bđt \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Rút gọn rồi quy đồng + chuyển vế sẽ chứng minh được \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le1\)
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. CMR:\(\frac{1}{\sqrt{a^5+b^2+ab+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^5+c^2+bc+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^5+a2+ca+6}}\)\(\le\)\(1\)
Ta có:\(a^5+ab+b^2\ge3a^2b\)
Tương tự ta có:
\(VT\le\frac{1}{\sqrt{3ab\left(a+2c\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3bc\left(b+2a\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3ca\left(c+2b\right)}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{\frac{c}{c+2a}}+\sqrt{\frac{a}{b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{2b+c}}\right)\)
Ta cũng có:\(a+2c=a+c+c\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{a}+2\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+2\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}+2\sqrt{b}}\)
Đặt \(x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}};xyz=1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\)
Giả sử \(xy\le1\) thì \(z\ge1\)
Ta có: \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\frac{x}{2}+1}+\frac{1}{\frac{y}{2}+1}\right)+\frac{1}{z+2}\)
\(\le\frac{1}{1\frac{\sqrt{xy}}{2}}+\frac{1}{z+2}\le1\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=1\)
sao chứng minh đc \(a^5+ab+b^2\ge3a^2b\)vậy bạn
a,b dương thì áp dụng Cô si
a5+ab+b2 \(\ge3\sqrt[3]{a^5\cdot a\cdot b\cdot b^2}=3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)
hiểu chưa ???
a ) \(\sqrt{\frac{a^2}{b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{c^2+\left(a+b\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^2}{a^2+\left(b+c\right)^2}}\le\frac{3}{\sqrt{5}}\)
với a,b,c là các số thực dương
b ) cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}+\frac{\left(1+b\right)^2+c^2+5}{bc+b+4}+\frac{\left(1+c\right)^2+a^2+5}{ca+c+4}\)
a )
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
\(\left(b^2+\left(c+a\right)^2\right)\left(1+\right)\ge\left(b+2\left(a+c\right)\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a^2}{b^2+\left(c+a\right)^2}}\le\sqrt{5}.\frac{a}{b+2c+2a}\)
\(\Rightarrow VT\le\sqrt{5}.\left(\frac{a}{b+2c+2a}+\frac{b}{c+2a+2b}+\frac{c}{a+2b+2c}\right)\)
Cần chứng minh : \(\frac{a}{b+2c+2a}+\frac{b}{c+2a+2b}+\frac{c}{a+2b+2c}\le\frac{3}{5}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}-\frac{a}{b+2c+2a}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{b}{c+2a+2b}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{c}{a+2b+2c}\right)\ge\frac{9}{10}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b+2c}{b+2c+2a}+\frac{c+2a}{c+2a+2b}+\frac{a+2b}{a+2b+2c}\ge\frac{9}{5}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức ở vế trái :
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(b+2c+c+2a+a+2b\right)^2}{\left(b+2c\right)^2+2a\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)^2+2b\left(c+2a\right)+\left(a+2b\right)^2+2c\left(a+2b\right)}\)
\(=\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+b\right)^2}=\frac{9}{5}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = '" xảy ra khi a=b=c
b ) Ta có abc =1
Ta chứng minh :
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}=1\)
VT \(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ac}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\left(đpcm\right)\)
Ta có : \(\left(1+a\right)^2+b^2+5=\left(a^2+b^2\right)+2a+6\ge2ab+2a+6\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}=\frac{2ab+2a+6}{ab+a+4}=2-\frac{2}{ab+a+4}\)
Mà \(\frac{1}{ab+a+4}=\frac{1}{ab+a+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)\) ( do \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}\ge2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{6}-\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}\)
Khi đó :
\(P\ge\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\right)=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.1=5\)
\(P_{Min}=5\) khi \(a=b=c=1\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{a^2+abc}}{c+ab}+\frac{\sqrt{b^2+abc}}{a+bc}+\frac{\sqrt{c^2+abc}}{b+ca}\le\frac{1}{2\sqrt{abc}}\)
Dễ dàng dự đoán được dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)Nhận thấy các đại lượng trong căn và mẫu đồng chưa bậc nên suy nghĩ đầu tiên là đồng bậc. Để ý đến giả thiết a+b+c=1 ta thấy \(a^2+abc=a^2\left(a+b+c\right)+abc=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(c+ab=a\left(a+b+c\right)+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(b^2+abc=b\left(b+a\right)\left(b+c\right);c^2+abc=c\left(c+b\right)\left(c+a\right)\)
\(b+ac=\left(a+b\right)\left(b+c\right);a+bc=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
\(\frac{\sqrt{a\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\sqrt{b\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{\sqrt{c\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\le\frac{1}{2\sqrt{abc}}\)
hay \(\frac{a\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\sqrt{ab\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\sqrt{ab\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}{\left(c+b\right)\left(b+a\right)}\le\frac{1}{2\sqrt{abc}}\)
Quan sát bất đẳng thức trên ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy, để ý là
\(bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)=c\left(a+b\right)\cdot b\left(a+c\right)=b\left(a+b\right)\cdot c\left(a+c\right)\)
Trong 2 cách viết trên ta chọn cách viết thứ nhất vì khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng \(2\sqrt{xy}\le x+y\)thì không tạo ra các đại lượng có chứa các bình phương. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
\(\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)}{2}=\frac{ab+2bc+ca}{2}\)
Áp dụng tương tự ta được
\(\frac{a\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\sqrt{ac\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\sqrt{ab\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\)\(\le\frac{a\left(ab+2bc+ca\right)}{2\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\left(ab+bc+2ac\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\left(2ab+bc+ca\right)}{2\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{a\left(ab+2bc+ca\right)}{2\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{b\left(ab+bc+2ac\right)}{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c\left(2ab+bc+ca\right)}{2\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\le1\)
hay \(a\left(ab+2bc+ca\right)\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)\left(ab+bc+2ca\right)+c\left(c+b\right)\left(2ab+bc+ca\right)\)\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Vế trái của bất đẳng thức là bậc bốn còn vế phải là bậc ba nên ta có thể đồng bậc là
\(a\left(ab+2bc+ca\right)+b\left(b+c\right)\left(ab+bc+2ac\right)+c\left(c+b\right)\left(2ab+bc+ca\right)\)
\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)\)
Triển khai và thu gọn ta được \(a^3\left(b+c\right)+b^3\left(c+a\right)+c^3\left(a+b\right)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+5\left(a^2bc+ab^2c+abc^2\right)\)
\(\le a^3\left(b+c\right)+b^3\left(a+c\right)+c^3\left(a+b\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+4\left(a^2bc+ba^2c+abc^2\right)\)
hay \(abc\left(a+b+c\right)\le a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\), đây là một đánh giá đúng
Dấu đẳng thức xảy ra tại \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1. CMR:
\(\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{c}{b+c}}\le\sqrt{2}\) và \(\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}\le\frac{5}{4}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\le abc\)
CMR: \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\)
Áp dụng bđt cô si ta có : \(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)\(< =>\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)
Tương tự và cộng theo vế ta được \(LHS\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ sau\(\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Ta thấy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}< =>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
Áp dụng bđt phụ trên ta có \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\le\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\le\frac{\frac{1}{2}abc}{abc}=\frac{1}{2}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(< =>a=b=c=3\)
bài này quan trọng là tìm đc cái bđt phụ đó thôi bạn
Áp dụng BĐT\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Ta Có \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{a}{4}.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{bc}\right)\) và \(a^2+b^2+c^2\le abc\)
\(=>\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\right)\)
Tương tự các cái khác ta có
\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\right)\)
Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\le1\)
\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)Dấu = xảy ra <=> a=b=c=3 "_"
Học tốt
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^5-b^2+3bc+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^5-c^2+3ac+6}}\le1\)
Bài 1: Cho 2 số a,b,c không âm có tổng bằng 1.
CMR: 4.(1-a).(1-b).(1-c) \(\le a+2b+c\)
Bài 2: Với a,b,c là các số thực dương . CMR:
\(\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^5}{c^2+ac+a^2}\)\(\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
Ai có lòng giúp với!!!
Bài 1. Từ giả thiết suy ra 1-a = b+c và áp dụng \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Ta có : \(4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=4\left(b+c\right)\left(1-c\right)\left(1-b\right)\le\left[\left(b+c\right)+\left(1-c\right)\right]^2\left(1-b\right)\)
\(=\left(b+1\right)^2\left(1-b\right)=\left(b+1\right)\left(1-b^2\right)=-b^2\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\le b+1=a+2b+c\)
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:
\(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{a+c}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\)\(\frac{1}{c}\).
Bài 2: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: abc=1.
Chứng minh rằng P= \(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{3}{2}\).
AI GIẢI GIÚP EM VỚI... NHIỀU BÀI KHÓ THẾ NÀY EM SAO LÀM NỔI!!
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
Để chừng nào t làm được câu 1 thì t giải giúp cho 1 lần luôn