Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp điều chỉnh biểu thức P để biểu thức này có thể được phân tích thành tổng của các biểu thức có dạng a(x-y)+b(y-z)+c(z-x), trong đó x,y,z là các số thực không âm. Khi đó, ta có:

P = ab + bc - ca = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(-c+b) + b(c-a) + c(-b+a) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x), với x = -c+b, y = c-a và z = -b+a

Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm các giá trị lớn nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≤ b, vì c ≥ 0 y = c-a ≤ c ≤ 2022, vì a+b+c = 2022 z = -b+a ≤ a, vì b ≥ 0

Vậy giá trị lớn nhất của P là:

P_max = ab + bc - ca ≤ b(2022-a) + 2022a = 2022b

Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm các giá trị nhỏ nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≥ -2022, vì b ≤ 2022 y = c-a ≥ 0, vì c ≤ 2022 và a ≥ 0 z = -b+a ≥ -2022, vì a ≤ 2022

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:

P_min = ab + bc - ca ≥ (-2022)a + 0b + (-2022)c = -2022(a+c)

Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2022b và giá trị nhỏ nhất của P là -2022(a+c).

*) \(MinA\) :

Ta thấy: a,b,c đều là các số thực không âm.

Do đó : \(A\ge0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=0,c=1\) và các hoán vị.

\(*)MaxA\) :

Giả sử \(a\ge b\ge c\) \(\Rightarrow3a\ge a+b+c=1\) 

\(\Rightarrow1-3a\le0\)

Ta có : \(A=a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)

\(=a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+3abc-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)

\(=ab+bc+ca-3abc\)

\(=a\left(b+c\right)+bc\left(1-3a\right)\) \(\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}+0\) ( do \(1-3a\le0\) )    \(=\frac{1}{4}\)

hay \(A\le\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2},c=0\) và các hoán vị.

\(\)

Ta có: \(a^2+b^2=4\left(gt\right)\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4\)

\(\Rightarrow2M=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)

Mà \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)

Vậy GTLN của \(M=\frac{ab}{a+b+2}=\sqrt{2}-1\)khi \(a=b=\sqrt{2}\)

Ta có a²+b²=4

<=> (a+b)²=4+2ab

<=> (a+b)²-4=2ab

<=> (a+b-2)(a+b+2)=2ab

<=> \(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a+b+2\right)}{2}=ab\)

Ta có \(M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\)

Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho 2 số a/2 và b/2 ta có

\(\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\frac{1}{2}.4\left(doa^2+b^2=4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\le\sqrt{2}\)

Do đó \(M=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Vậy Max M = \(\sqrt{2}-1\)

Cảm ơn nha!!

GTLN x+y=21+34=55

GTNN x+y=-14-23=-37

a: x+y=21+34=55

a: x+y=21+34=55

1

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

4ac=2.b.2c≤2(b+2c2)2≤2(a+b+2c2)2=2.(12)2=12

⇒−4bc≥−12

⇒K=ab+4ac−4bc≥−4bc≥−12

Xin loi! minh moi hoc lop 6

xin loi minh moi hoc lop 6 thoi!

từ a+3b=8 ,a+2b=9 suy ra 2a +2b+3c=17 .do đó 2*(a+b+c)+c=17.để a+b+c lớn nhất , phải có nhỏ nhất ,mà lớn hơn hoặc bằng 0 nên c=0 khi đó a=8 ,b =1:2 ,GTLN  của a+b+c bằng 8.5